Esercizio topologia su omeomorfismi
Ciao a tutti!! 
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di Topologia generale che dice:
In $ mathbb(R^3) $ munito della topologia euclidea si considerino i sottospazi:
X1= {(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ x^2+(y-2)^2-4(z+1)^2=1 , |z|<= 3 $ } ;
X2= {(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ x^2+(y-2)^2-4(z+1)^2=0 , -3<= z<= 3 $ } ;
X3 la superficie ottenuta dalla rotazione del disco D={(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ (x-2)^2+z^2=1 , y=0 $ } intorno all'asse z;
X4= la superficie unione di X3 con la sfera di centro il punto (4, 0, 0) e raggio 1
Si suddivida l'insieme degli spazi topologici { X1, X1, X3, X4} in classi di omeomorfismo (ovvero bisogna studiare singolarmente ognuno di questi spazi e dire quali sono omeomorfi tra loro e quali no)
Ora, X1 è un iperboloide a una falda con asse di rotazione parallelo all'asse z e centro in (0,2,-1) compreso tra i due piani z=3 e z=-3
X2 è un cono reale tagliato (sempre tra due piani z=3 e z=-3)
X3 è un toro
X4: il toro (X3) e la sfera uniti da un punto P=(3,0,0)
X1 non è omeomorfo a X2 perché se a X2 tolgo il punto dove non è una varietà topologica (ovvero il vertice) non è più connesso, mentre X1/{p} è sempre connesso.
X3 non è omeomorfo a X2 per lo stesso motivo.
X1 $ ~= $ $ S^1xx (-3,3) $ $ ~= $ $ S^1xx mathbb(R) $ (cilindro)
Il cilindro non è omeomorfo al toro allora X1 non è omeomorfo a X3.
X1 non è omeomorfo a X4 sempre per la connessione; perché se a X4 tolgo il punto P=(3,0,0) dove non è una varietà topologica allora X4 si sconnette mentre X1/{p} (p=punto qualsiasi) è sempre connesso.
X3 non è omeomorfo a X4 per lo stesso motivo.
Mi manca da vedere se X2 e X4 (ovvero il cono reale e il toro unito alla sfera da un punto) sono omeomorfi oppure no.. e quì non so proprio da dove cominciare. Qualcuno può darmi una mano??
Grazie mille!!
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di Topologia generale che dice:
In $ mathbb(R^3) $ munito della topologia euclidea si considerino i sottospazi:
X1= {(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ x^2+(y-2)^2-4(z+1)^2=1 , |z|<= 3 $ } ;
X2= {(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ x^2+(y-2)^2-4(z+1)^2=0 , -3<= z<= 3 $ } ;
X3 la superficie ottenuta dalla rotazione del disco D={(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ (x-2)^2+z^2=1 , y=0 $ } intorno all'asse z;
X4= la superficie unione di X3 con la sfera di centro il punto (4, 0, 0) e raggio 1
Si suddivida l'insieme degli spazi topologici { X1, X1, X3, X4} in classi di omeomorfismo (ovvero bisogna studiare singolarmente ognuno di questi spazi e dire quali sono omeomorfi tra loro e quali no)
Ora, X1 è un iperboloide a una falda con asse di rotazione parallelo all'asse z e centro in (0,2,-1) compreso tra i due piani z=3 e z=-3
X2 è un cono reale tagliato (sempre tra due piani z=3 e z=-3)
X3 è un toro
X4: il toro (X3) e la sfera uniti da un punto P=(3,0,0)
X1 non è omeomorfo a X2 perché se a X2 tolgo il punto dove non è una varietà topologica (ovvero il vertice) non è più connesso, mentre X1/{p} è sempre connesso.
X3 non è omeomorfo a X2 per lo stesso motivo.
X1 $ ~= $ $ S^1xx (-3,3) $ $ ~= $ $ S^1xx mathbb(R) $ (cilindro)
Il cilindro non è omeomorfo al toro allora X1 non è omeomorfo a X3.
X1 non è omeomorfo a X4 sempre per la connessione; perché se a X4 tolgo il punto P=(3,0,0) dove non è una varietà topologica allora X4 si sconnette mentre X1/{p} (p=punto qualsiasi) è sempre connesso.
X3 non è omeomorfo a X4 per lo stesso motivo.
Mi manca da vedere se X2 e X4 (ovvero il cono reale e il toro unito alla sfera da un punto) sono omeomorfi oppure no.. e quì non so proprio da dove cominciare. Qualcuno può darmi una mano??
Grazie mille!!
Risposte
"GaioBo":Perché?
...Il cilindro non è omeomorfo al toro allora X1 non è omeomorfo a X3...
Mmm... mi sa che mi sono sbagliata 
provo..
Allora.. come ho già detto
$ X1~= S^1xx (-3,3)~= S^1xx mathbb(R) $ (cilindro)
$ S^1xx mathbb(R) ~= S^1 xx (0,1)~= S^1xx S^1 $ che è un toro. Quindi sono omeomorfi!
Ora è giusto? Non so se sto facendo un casino!!
provo..Allora.. come ho già detto
$ X1~= S^1xx (-3,3)~= S^1xx mathbb(R) $ (cilindro)
$ S^1xx mathbb(R) ~= S^1 xx (0,1)~= S^1xx S^1 $ che è un toro. Quindi sono omeomorfi!
Ora è giusto? Non so se sto facendo un casino!!
Non avevi sbagliato (nel primo thread);
ti metto sulla giusta via: senza utilizzare i punti di taglio, perché \(\displaystyle\mathbb{R}\) ed \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) non sono omeomorfi?
ti metto sulla giusta via: senza utilizzare i punti di taglio, perché \(\displaystyle\mathbb{R}\) ed \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) non sono omeomorfi?
In \(\displaystyle X_1 \) tu hai \(\displaystyle \lvert z \rvert \le 3 \) e quindi \(\displaystyle z\in [-3, 3] \cong I \) che non è omeomorfo a \(\mathbb{R}\) perché compatto (e in realtà neanche a \(\displaystyle S^1 \) perché \(\displaystyle I \) è uno spazio contraibile ).
"j18eos":
Non avevi sbagliato (nel primo thread);
ti metto sulla giusta via: senza utilizzare i punti di taglio, perché \(\displaystyle\mathbb{R}\) ed \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) non sono omeomorfi?
Perché $ S^1 $ è compattificazione di Alexandroff di $ mathbb(R) $ quindi non sono omeomorfi.
$ mathbb(R) $ è omeomorfa a $ S^1 $\{p} .E' giusto?
Ci sono molti modi per costruire \(S^1\) a partire da \(\mathbb{R}\). Ma non è necessario costruire legami tra i due spazi, il punto importante è che \(S^1\) è compatto, \(\mathbb{R}\) no e quindi, essendo la compattezza una proprietà topologica, non possono essere omeomorfi. Insomma non possono esistere funzioni continue suriettive da \(S^1\) a \(\mathbb{R}\)
"vict85":
Ci sono molti modi per costruire \( S^1 \) a partire da \( \mathbb{R} \). Ma non è necessario costruire legami tra i due spazi, il punto importante è che \( S^1 \) è compatto, \( \mathbb{R} \) no e quindi, essendo la compattezza una proprietà topologica, non possono essere omeomorfi. Insomma non possono esistere funzioni continue suriettive da \( S^1 \) a \( \mathbb{R} \)
Aaaah già!! Giusto!
Grazie mille. Scusate avevo un po' di confusione in testa Invece come posso vedere se X2 e X4 sono omeomorfi o no?
Sai cosa sono i gruppi fondamentali? Perché in quel caso potresti cominciare con il notare che i gruppi fondamentali sono rispettivamente \(\mathbb{Z}\), \(0\), \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) dove l'unico un po' complesso e l'ultimo (e che ho calcolato in modo un po' naif quindi andrebbe calcolato per bene).
"vict85":
Sai cosa sono i gruppi fondamentali? Perché in quel caso potresti cominciare con il notare che i gruppi fondamentali sono rispettivamente \(\mathbb{Z}\), \(0\), \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) dove l'unico un po' complesso e l'ultimo (e che ho calcolato in modo un po' naif quindi andrebbe calcolato per bene).
Mmm sinceramente con la prof non abbiamo mai parlato di gruppi fondamentali..
Non c'è un altro metodo? Io non riesco a capire nemmeno intuitivamente se sono omeomorfi oppure no...
Se li avevi fatti era un modo veloce per vedere che non erano omeomorfi. Devo dire che senza usarlo né sapere che hai fatto è un po' più macchinoso (tra l'altro ho fatto il calcolo e mi viene la stessa caratteristica di Eulero).
La mia proposta è la seguente. Entrambi gli insiemi possiedono un unico punto che levato spezza gli spazi in due componenti connesse. Quindi quel punto viene mandato nel punto corrispondente da tutte le funzioni continue. Sia \(\displaystyle X_2 = X_2^1\cup {p_2} \cup X_2^2 \) e \(\displaystyle X_4 = X_4^1\cup {p_4} \cup X_4^2 \). Pertanto si ha che se \(\displaystyle f\colon X_2\to X_4 \) è un omeomorfismo allora \(\displaystyle fx_2 = x_4 \). Inoltre per ogni \(\displaystyle i\in\{1,2\} \) esiste un \(\displaystyle j\in\{1,2\} \) tale che \(\displaystyle fX_2^i = X_4^j \). A meno di cambiare gli indici nel secondo insieme possiamo supporre \(\displaystyle i = j \).
Il problema ora è che \(\displaystyle X_2^1 \cong X_2^2 \cong D^2\setminus \{0\} \) dove \(\displaystyle D^2 \) è il disco di dimensione \(\displaystyle 2 \). Quello che dobbiamo allora mostrare è che \(\displaystyle X_4^1 \) non è omeomorfo a \(\displaystyle X_4^2 \). Non dovrebbe essere difficile.
La mia proposta è la seguente. Entrambi gli insiemi possiedono un unico punto che levato spezza gli spazi in due componenti connesse. Quindi quel punto viene mandato nel punto corrispondente da tutte le funzioni continue. Sia \(\displaystyle X_2 = X_2^1\cup {p_2} \cup X_2^2 \) e \(\displaystyle X_4 = X_4^1\cup {p_4} \cup X_4^2 \). Pertanto si ha che se \(\displaystyle f\colon X_2\to X_4 \) è un omeomorfismo allora \(\displaystyle fx_2 = x_4 \). Inoltre per ogni \(\displaystyle i\in\{1,2\} \) esiste un \(\displaystyle j\in\{1,2\} \) tale che \(\displaystyle fX_2^i = X_4^j \). A meno di cambiare gli indici nel secondo insieme possiamo supporre \(\displaystyle i = j \).
Il problema ora è che \(\displaystyle X_2^1 \cong X_2^2 \cong D^2\setminus \{0\} \) dove \(\displaystyle D^2 \) è il disco di dimensione \(\displaystyle 2 \). Quello che dobbiamo allora mostrare è che \(\displaystyle X_4^1 \) non è omeomorfo a \(\displaystyle X_4^2 \). Non dovrebbe essere difficile.
Ok! Chiaro il ragionamento! Il problema è che non ci sarei mai arrivata
Cmq,
\( \displaystyle X_4^1 \)\ sarebbe il toro e $ X_4^2 $ sarebbe la sfera giusto?
Beh, in questo caso, ovviamente, non sono omeomorfi perché il toro è una superficie di genere 1 e la sfera è una superficie di genere 0. (In parole mie, perché il toro ha un buco e la sfera no!
)
Giusto?
Cmq,
\( \displaystyle X_4^1 \)\ sarebbe il toro e $ X_4^2 $ sarebbe la sfera giusto?
Beh, in questo caso, ovviamente, non sono omeomorfi perché il toro è una superficie di genere 1 e la sfera è una superficie di genere 0. (In parole mie, perché il toro ha un buco e la sfera no!
) Giusto?
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