Superficie laterale cono
Salve a tutti,
ho dubbio probabilmente molto stupido a proposito di un problema molto comune: il calcolo della superficie laterale di un cono... E' fatto noto che il cono è un solido di rotazione ottenibile dalla rotazione di $360°$ di un triangolo rettangolo (poniamo di base $AB$ e ipotenusa $AC$) attorno a un cateto (nel nostro caso $BC$) e che la sua superficie laterale misura $S=pira$ (dove $r$ e $a$ rappresentano nel nostro caso rispettivamente $AB$ e $AC$).
Il problema è questo: non credo di sbagliare dicendo di poter immaginare la superficie laterale come la "somma" delle infinite circonferenze parallele alla circonferenza di base e di raggio $r_i$ tale che $0<=r_i<=r$. In altre parole, considerato il triangolo in figura, l'$i$-esima circonferenza avrebbe centro $B_i$ e raggio $A_iB_i$, con i casi limite $A_i \equiv A, B_i \equiv B$ e $A_i \equiv B_i\equiv C$.
A questo punto avremmo [tex]S=\displaystyle \sum_i 2\pi r_i = 2\pi \sum_i r_i[/tex]. Sbaglio ad affermare che $\sum_i r_i$ tende alla superficie di $ABC$, cioè $1/2 hr$, con $h=BC$? Se così fosse otterrei $S=2\pi (hr)/2 = \pi hr != \pi ra$... dove sbaglio?
ho dubbio probabilmente molto stupido a proposito di un problema molto comune: il calcolo della superficie laterale di un cono... E' fatto noto che il cono è un solido di rotazione ottenibile dalla rotazione di $360°$ di un triangolo rettangolo (poniamo di base $AB$ e ipotenusa $AC$) attorno a un cateto (nel nostro caso $BC$) e che la sua superficie laterale misura $S=pira$ (dove $r$ e $a$ rappresentano nel nostro caso rispettivamente $AB$ e $AC$).
Il problema è questo: non credo di sbagliare dicendo di poter immaginare la superficie laterale come la "somma" delle infinite circonferenze parallele alla circonferenza di base e di raggio $r_i$ tale che $0<=r_i<=r$. In altre parole, considerato il triangolo in figura, l'$i$-esima circonferenza avrebbe centro $B_i$ e raggio $A_iB_i$, con i casi limite $A_i \equiv A, B_i \equiv B$ e $A_i \equiv B_i\equiv C$.
Risposte
Non so se ti sono di aiuto ma credo che la formula
$ S=sum_(i) 2\pir_i $
sia sbagliata dimensionalmente. Poi affermi che $ sum_(i)r_i $ è equivalente ad una superficie. Non capisco come la somma di lunghezze possa dare una superficie. Questa è una risposta più da fisico che da matematico. Però credo che tu possa partire da lì per capire l'errore
$ S=sum_(i) 2\pir_i $
sia sbagliata dimensionalmente. Poi affermi che $ sum_(i)r_i $ è equivalente ad una superficie. Non capisco come la somma di lunghezze possa dare una superficie. Questa è una risposta più da fisico che da matematico. Però credo che tu possa partire da lì per capire l'errore
"abbas90":
Non so se ti sono di aiuto ma credo che la formula
$ S=sum_(i) 2\pir_i $
sia sbagliata dimensionalmente. Poi affermi che $ sum_(i)r_i $ è equivalente ad una superficie. Non capisco come la somma di lunghezze possa dare una superficie. Questa è una risposta più da fisico che da matematico. Però credo che tu possa partire da lì per capire l'errore
Ciao, grazie per la risposta!
Hai ragione sulle considerazioni dimensionali... effettivamente credo di aver formalizzato male delle osservazioni intuitive: matematicamente parlando quella sommatoria è una somma di infiniti termini, sarebbe più opportuno usare un integrale, credo. E' sempre intuitivamente che ho attribuito a tale sommatoria il valore della superficie del triangolo, che mi sembra effettivamente di poter "riempire" esattamente con tutti gli infiniti segmenti $\bar{A_iB_i}$ paralleli alla base, con $A_i \in \bar{AC}$ e $B_i \in \bar{BC}$. Cosa pensi delle considerazioni intuitive che ho fatto? Credi che effettivamente la superficie laterale possa essere immaginata come la "somma" delle infinite circonferenze parallele a quella di base e i cui punti appartengono alle superficie laterale stessa?
Grazie
Perchè tu usi la proiezione di $a$ su $h$ invece di $a$ stesso.
In pratica dovresti dividere per il coseno che è, appunto $a/h$.
Per esagerare l'errore che si commette dovresti immaginare un cono molto "schiacciato", cioè con $h$ molto molto piccolo. In pratica il cono tende a un disco bidimensionale. Dovresti vedere bene che la tua formula va pesantemente in crisi in questo caso.
In pratica dovresti dividere per il coseno che è, appunto $a/h$.
Per esagerare l'errore che si commette dovresti immaginare un cono molto "schiacciato", cioè con $h$ molto molto piccolo. In pratica il cono tende a un disco bidimensionale. Dovresti vedere bene che la tua formula va pesantemente in crisi in questo caso.
La superficie laterale del cono si può calcolare, senza ricorrere agli integrali, con una sommatoria, come hai fatto tu;
l'espressione della grandezza elementare che si somma deve però essere esatta.
Sia $\epsilon$ la distanza di due piani paralleli orizzontali (rispetto al tuo disegno) ,che secano un tronchetto elementare di cono, la cui superficie laterale vale:
\[ 2 $\pi$ r $\epsilon$ $a\h$ \]
h\a è il coseno.
la sommatoria di questo elemento,estasa a tutta l'altezza del cono, è appunto $\pi$ a r.
l'espressione della grandezza elementare che si somma deve però essere esatta.
Sia $\epsilon$ la distanza di due piani paralleli orizzontali (rispetto al tuo disegno) ,che secano un tronchetto elementare di cono, la cui superficie laterale vale:
\[ 2 $\pi$ r $\epsilon$ $a\h$ \]
h\a è il coseno.
la sommatoria di questo elemento,estasa a tutta l'altezza del cono, è appunto $\pi$ a r.
perché nelle formule compaiono sempre quei maledetti dollari?
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