Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, amici! Vorrei chiedere che cosa significa che un insieme di punti è chiuso e denso in sé, cioè perfetto. Suppongo che si tratti di una terminologia obsoleta perché non trovo nulla a riguardo in rete.
Il contesto in cui trovo quest'espressione sono i Fondamenti della Geometria in cui Hilbert diceSe \(K^{\ast}\) è un punto di accumulazione dei punti della vera circonferenza $\kappa$, per l'assioma terzo esso appartiene ancora alla vera circonferenza $\kappa$. ...
Salve a tutti,
fino ad ora ho fatto esercizi del tipo: scrivere equazione cartesiana e equazioni parametriche della retta congiungente i punti a e b. E l'ho svolta considerando una retta passante per il punto a e parallela alla retta ab.
Ora ho questo esercizio ma non capisco come svolgerlo: scrivere l'equazione cartesiana della retta r passante per il punto a(3,-5) e parallela alla retta x+2y-4=0. Saprei svolgerlo se al posto dell'equazione cartesiana della retta a cui essere parallelo ...
Come posso dimostrare che il $det(A-xI_n)$ , con $A in K^(nxn)$ può essere espresso con un polinomio al più di grado $n$?
Ovvero:
Al $det(A-xI_n)-=|( ( a_(1,1)-x , . , . , . , a_(1,n) ),( . , . , , , . ),( . , , . , , . ),( . , , , . , . ),( a_(n,1) , . , . , . , a_(n,n)-x ) )|=|( a_(1,1)-x , . , . , . , a_(1,n) ),( . , . , , , . ),( . , , . , , . ),( . , , , . , . ),( a_(n,1) , . , . , . , a_(n,n)-x ) |$
è associato un polinomio $P(x)$ di massimo grado $n$.
Dovrei provare per $n=1,2,3,..$ e verificarlo per induzione? Qualcuno ha altre idee?
Come posso dimostrare che data una matrice $A in K^(nxn)$, $det(A)=0<=>rk(A)!=rk_(max)(A)$ , ovvero $det(A) =0<=>0<=rk(A)<n$?
Buongiorno. Ho dei problemi con l'impostare i problemi di geometria. Il problema che ho di fronte in questo momento, dice:
siano r ed s le rette di equazione rispettivamente $ y=3 $ e $ x=5 $. Sia inoltre t la retta di equazione $ y=mx + n $ passante per il punto $ P ( -1 ; 3) $ e tale che $ m> 0 $ . Per quale $ m> 0 $ l'area del trapezio delimitato da $ r,s,x,t $ è pari a 21?
So bene che il forum non funziona come una richiesta di ...
Ciao ciao
Mi sapreste dire se questo esercizio e' corretto?
X3 = { f appartiene B^B | f(A) = B\A }
io ho detto che c'e' un insieme formato da:
f(B\A) --> B che metto in bigez con B^(B\A)
e poi:
f(A) ----> B\A che metto in bigez con (B\A)^A
quindi la cardinalita' e':
| B^(B\A) | + | (B\A)^A |
Ciao a tutti! ho dei problemi con questo esercizio. Viene data l'equazione di una quartica ..
$ (x^2+y^2)^2-8x(x^2+y^2)-4(y^2-3x^2)=0 $
devo scriverla in forma esplicita, ovvero nella forma $ x=f(y) $ oppure $ y=f(x) $ .
Sviluppandola ottengo
$ x^4+y^4+2x^2y^2-8x^3-8xy^2-4y^2+12x^2=0 $
ho provato a raccogliere la $ x $ o la $ y^2 $ ma non sono arrivata a grandi conclusioni
Mi aiutate? Grazie !
Ciao a tutti
Durante la mia quotidiana esercitazione in vista dell'esame, mi sono imbattuto in un esercizio abbastanza ambiguo e avrei bisogno del vostro aiuto
Mi si chiede di dare una risposta tra VERO O FALSO (con relativa motivazione) affermando che i vettori (2,1,0) e (1,3,0) sono linearmente indipendenti e costituiscono una base di R^3.
So che dei vettori, per costituire una base di un certo R^n, devono essere della stessa quantità della dimensione di R(in questo caso 3, cioè avrei ...
Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio. Data questa curva
\( Cf: (x^2+y^2)^3-4x^2y^2=0 \)
viene richiesto di delimitare la regione reale del piano in cui la curva è compresa.
Ho quindi impostato il primo sistema
\( \begin{cases} (x^2+y^2)^3-4x^2y^2=0 \\ x=a \end{cases} \)
da cui risulta l'equazione \( a^6+y^6+3a^4y^2+3a^2y^4-4a^2y^2=0 \)
ora stando agli appunti devo determinare i valori di a per cui l'equazione nell'incognita x abbia soluzioni.
Come faccio? ho provato ...
Salve volevo fare una semplicissima domanda...quando faccio un esercizio che mi dice di vedere se un certo insieme è un sottospazio vettoriale di $R^2$ una volta che ho visto che il vettore nullo c'è ho visto che la somma e il prodotto per scalari appartiene all insieme insieme S...arrivato al secondo punto l'esercizio mi chiede di determinare il piu piccolo sottospazio vettoriale di $R^2$ contenente S,come faccio a vedere quale è il piu piccolo(è il vettore nullo il ...
Ciao a tutti ! ho dei dubbi con un esercizio di geometria 2. Devo parametrizzare
una cubica piana di equazione
$ f(x,y): y^2(1-x)-x^3=0 $
Usando il metodo trigonometrico introduco la trasformazione
$ { ( x= rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $
quindi sostituisco nella curva ottenendo
$ rho^2sin^2theta-rho^3costhetasin^2theta-rho^3cos^3theta=0 $
adesso devo esplicitare $ rho $
$ rho^2(sin^2theta-rhocosthetasin^2theta-rhocos^3theta)=0 $
quindi ho studiato il secondo membro ---- > $ (sin^2theta-rhocosthetasin^2theta-rhocos^3theta)=0 $
scrivendolo così
$ sin^2theta-rhocostheta=0 $
Adesso per ricavare $ rho $ è lecito ...
Ciao a tutti,
premetto che sono un eretico della matematica, abbiate pazienza.
Quello che sto cercando una formula che mi consenta di ricavare l'angolo con il quale una determinata figura è stata ruotata.
Partendo dal sistema che trova le nuove coordinate di un punto avendo noto l'angolo di rotazione
x'= x * cos(t) - y * sin(t)
y'= x * sin(t) + y * cos(t)
Dove t è angolo di rotazione.
Io ho provato a ricavarmi t con delle formule inverse, ma ottengo angoli sballati.
Per cui... esiste una ...
Salve chi mi aiuta con questo esercizio?
Sia f:ℝ4 -> ℝ4 l’applicazione lineare definita da:
f(x,y,z,t)=(x+y+z+t,x+y+z+t,x+y+z+t,x+y+z+t).
a) Stabilire se il vettore (1;1;1;1) appartiene al sottospazio intersezione Ker f ∩ Im f.
b) Stabilire se il vettore (1;1;1;1) appartiene al nucleo di f.
c) Stabilire se il vettore (1;1;1;1) appartiene all’immagine di f.
Grazie in anticipo
Ciao a tutti.
Chi mi aiuta a dimostrare che:
data una matrice $A in K^(mxn)$, essa è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo, ovvero:
$EE A^(-1)|A*A^(-1)=1_n <=> det(A)!=0$
Ciao, amici! Nei Fondamenti della Geometria di Hilbert trovo la seguente affermazione a proposito di quelle che vengono assiomaticamente definite rotazioni, che sono trasformazioni biunivoche continue* di $\mathbb{R}^2$ in sé:Se c'è una rotazione intorno al punto $M$ per la quale un punto arbitrariamente prossimo al punto $A$ può venire portato in un punto arbitrariamente prossimo ad \(A'\), c'è sempre anche una rotazione intorno ad ...
Salve ragazzi,
Sto ripassando questi concetti cercando di interiorizzarli bene utilizzando il Lang "Algebra Lineare" che avevo a casa. Avrei bisogno di un po' di conferme:
Definizione Dato uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita e due sottospazi \(W, U \subseteq V \). Si dice che \(V\) è somma diretta di \(W\) e \(U\) se e solo se:
[list=1]
[*:2uepjazo] \(W + U = V\)[/*:m:2uepjazo]
[*:2uepjazo]\( W \cap U = ...
Ho difficoltà con questo problema
Si calcoli il commutatore di $[A,B]$ con $A=X^2+Y$, $B=X^2-Y$ , $[X,Y]=i$
Svolgendo i calcoli trovo alla fine $ 2(YXX-XXY)$, non posso raccogliere $X$ dato che non so se e come commuta e quindi non so cosa fare. Spero rispondiate almeno a questa domanda, grazie
Ciao, amici! Nei Fondamenti della Geometria Hilbert, appendice terza, costruisce il campo dei versi delle rette del piano iperbolico con opportune definizioni di somma e prodotto, dove i versi sono le classi di parallelismo tra semirette.
In questa geometria valgono gli assiomi di incidenza, ordine e congruenza I 1-3, II e III e il parallelismo è formulato sulla base dell'assioma IV"D. Hilbert":Se $b$ è una retta qualsiasi ed $A$ un punto che non stia su ...
Salve a tutti,
ho un problema rispetto al quale non sono riuscito a trovare una soluzione, il problema è il seguente:
Sia data in $R^3$ una forma bilineare simmetrica $F$ associata rispetto alla base canonica alla matrice $A = ((1,0,0),(0,1,1),(0,1,2))$, si vede subito che $F$ è un prodotto scalare in quanto definita positiva.
Ciò detto, sia adesso dato il sottospazio $V ={(x,y,z) | x+y =0}$ in $R^3$, trovata una base ortogonale di $V$ e di ...
Salve ragazzi ho dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio..allora la traccia dell esercizio dice di determnare i valore di
k $in$ R tali che l'insieme sia un sottospazio vettoriale di R^4
$S_k$ ={(x,y,z,t) $in$ R^4 I x+2y-kz+8t=k
L'esercizio l'ho iniziato e ho anche fatto la somma e il prodotto per scalari e a quanto pare S dovrebbe esser un sottospazio di R^4 ma proprio non riesco a capire come trovare k,qualcuno che mi puo dare una mano ...
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