Dimostrazione invertibilità di una matrice

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti.
Chi mi aiuta a dimostrare che:
data una matrice $A in K^(mxn)$, essa è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo, ovvero:
$EE A^(-1)|A*A^(-1)=1_n <=> det(A)!=0$

[Cuspide83]

Una matrice $A$ è invertibile se esiste una matrice $A^{-1}$ tale per cui

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$

quindi

$$1=det(I)=det(AA^{-1})=det(A)det(A^{-1})\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\hspace{1 cm},\ det(A)\ne0$$

[Sk_Anonymous]

grazie Cuspide83.

[Sk_Anonymous]

Quindi se $A$ è invertibile, vale sempre $det(A^(-1))!=0$, giusto?

[Cuspide83]

Si, perchè $A$ è invertibile solo se $det(A)\ne 0$, d'altra parte l'inversa di $A$ è invertibile (e la sua inversa e proprio $A$) quindi anche $det(A^{-1})\ne 0$.
Utilizzando il risultato ottenuto prima hai che

$$det(A)=\frac{1}{det(A^{-1})}\ \ \ \ ,\ det(A^{-1})\ne 0$$

[garnak.olegovitc1]

@Cuspide83,

"Cuspide83":Una matrice $ A $ è invertibile se esiste una matrice $ A^{-1} $ tale per cui

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]

quindi

\[ 1=det(I)=det(AA^{-1})=det(A)det(A^{-1})\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\hspace{1 cm},\ det(A)\ne0 \]

avresti dimostrato così la prima parte della proprietà, e sinceramente non mi convince moolto!

Saluti

@sleax,

"sleax":Ciao a tutti.
Chi mi aiuta a dimostrare che:
data una matrice $A in K^(mxn)$, essa è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo, ovvero:
$EE A^(-1)|A*A^(-1)=1_n <=> det(A)!=0$

prima di tutto devi avere per ipotesi, stando alla definizione di "matrice invertibile (o: regolare)"[nota]sia \( A \in \mathfrak{M}_{m,m}(\mathbf{K})\), \(A \) è invertibile se \( \exists B \in \mathfrak{M}_{m,m}(\mathbf{K})(A \cdot B=B \cdot A={I}_m)\)[/nota], che \( A \in \mathfrak{M}_{m,m}(\mathbf{K})=:\mathfrak{M}_m(\mathbf{K})\); devi (di)mostrare $$\mathfrak{M}_m(\mathbf{K}) \ni A \text{ è invertibile} \Leftrightarrow \det(A) \neq 0_\mathbf{K}$$ Dimostriamo il primo verso "\(\Rightarrow \)":

procedendo per assurdo avremo \(\det(A)=0_\mathbf{K}\), ma per ipotesi \( A \) è invertibile ergo \( \exists B \in \mathfrak{M}_{m,m}(\mathbf{K})(A \cdot B=B \cdot A={I}_m)\), ovvero \( A \cdot B=B \cdot A={I}_m\), sappiamo che \( \det(I_m)=1_\mathbf{K}\) ma \(I_m=A \cdot B \) ergo \( \det(A \cdot B)=\det(I_m)=1_\mathbf{K} \), dal teorema di Binet sappiamo anche $$\det(A) \cdot_\mathbf{K} \det(B)= \det(A \cdot B)$$ quindi $$\det(A) \cdot_\mathbf{K} \det(B)= \det(A \cdot B)=\det(I_m)=1_\mathbf{K}$$ dalle ipotesi però possiamo concludere che $$0_\mathbf{K}=0_\mathbf{K} \cdot_\mathbf{K} \det(B)=\det(A) \cdot_\mathbf{K} \det(B)= \det(A \cdot B)=\det(I_m)=1_\mathbf{K} $$ ottenendo così un assurdo (nel campo \(\mathbf{K}\))

Dimostriamo il secondo verso "\(\Leftarrow \)"

moolto semplice (insomma... ), se per ipotesi \( \det(A) \neq 0_\mathbf{K}\) allora esiste il suo inverso moltiplicativo in \( \mathbf{K}\), consideri \( (\mathrm{cof}(A))^t \), e dulcis in fundo ti basta fare vedere che \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)}\cdot (\mathrm{cof}(A))^t \doteq A^{-1} \) ergo avrai che \( A \) è invertibile

"sleax":Quindi se $ A $ è invertibile, vale sempre $ det(A^(-1))!=0 $, giusto?

certamente, se \( A \) è invertibile allora \( A^{-1} \) è invertibile (e puoi dimostrarlo con moolta facilità)

Saluti

[Sk_Anonymous]

@garnak.olegovitc grazie per l'estrema preicsione e per la dimostrazione della doppia implicazione!

[garnak.olegovitc1]

@sleax,

"sleax":@garnak.olegovitc grazie per l'estrema preicsione e per la dimostrazione della doppia implicazione!

di nulla... ho dimenticato di specificare nella dimostrazione del primo verso \(\Rightarrow \) che è assurdo ottenere \( 0_\mathbf{K}=1_\mathbf{K} \) nel campo \( \mathbf{K}\) perchè un campo è un corpo commutativo, e un corpo è un "anello non nullo ... etc etc .."

Saluti