Spiegazione di Fisica 1 poco chiara: modulo della derivata di un versore
Di seguito darò per vere le seguenti definizioni, notazioni e convenzioni:
[list=1]
[*:1qsr8n09]Con \(\displaystyle \sim \) indico la relazione di equivalenza sull'insieme \(\displaystyle (\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}) \) tale che, per ogni \(\displaystyle (a,b) \in ((\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}))^{2} \), si abbia \(\displaystyle a \sim b \iff \text{"} a \text{ e } b \text{ hanno direzioni parallele, lo stesso modulo e lo stesso verso"} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Con \(\displaystyle \mathcal{V} \) indico lo spazio vettoriale \(\displaystyle ((\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3})) / \sim \) (sul campo \(\displaystyle \mathbb{R} \))[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Indico con \(\displaystyle \vec{0_{\mathcal{V}}} \) l'elemento nullo rispetto alla somma di \(\displaystyle \mathcal{V} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Per ogni \(\displaystyle \vec{v} \in \mathcal{V} \) si indica con \(\displaystyle |\vec{v}| \) il modulo di un qualsiasi \(\displaystyle (v_{1},v_{2}) \in (\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}) \) tale che \(\displaystyle [(v_1,v_2)]_{\sim}=\vec{v} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Indico con \(\displaystyle vers \) la funzione definita nel seguente modo: \(\displaystyle vers:\mathcal{V}\backslash\{\vec{0_{\mathcal{V}}}\} \to \mathcal{V} | vers(\vec{v}):=\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v} \forall \vec{v} \in \mathcal{V}\backslash\{\vec{0_{\mathcal{V}}}\} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09] Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} | \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \), \(\displaystyle t_{0} \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \vec{l}\in\mathcal{V} \), si ha \(\displaystyle \vec{l}=\lim_{t\to t_0}(\vec{f}(t)) \) se e solo se \(\displaystyle t_0 \) è un punto di accumulazione di \(\displaystyle \mathcal{D} \) e \(\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{+}, \exists \delta \in \mathbb{R}^{+} | \forall t \in \mathcal{D} \cap ( (t_{0}-\delta,t_{0}) \cup (t_{0},t_{0}+\delta) ), | \vec{f}(t) - \vec{l}| < \varepsilon \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} | \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}\), \(\displaystyle \vec{f} \) è derivabile in \(\displaystyle t_0 \) se e solo se sono rispettate tutte le seguenti condizioni:
[list=1]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle t_0 \in \mathcal{D} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle t_0 \) è un punto di accumulazione di \(\displaystyle \mathcal{D} \backslash \{t_0 \} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \exists \vec{l} \in \mathcal{V} | \vec{l} = \lim_{t\to t_0}(\frac{1}{t-t_0}(\vec{f}(t)-\vec{f}(t_0))) \)[/*:m:1qsr8n09][/list:o:1qsr8n09][/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} \) tale che \(\displaystyle \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}\) ed esista (almeno un) \(\displaystyle t_0 \) tale che \(\displaystyle \vec{f} \) sia derivabile in \(\displaystyle t_0 \), indico con \(\displaystyle \dot{\vec{f}} \) la funzione "derivata di \(\displaystyle \vec{f} \)" definita nel seguente modo: \(\displaystyle \dot{\vec{f}}: \{t_{0}|\vec{f}\text{ sia derivabile in }t_{0}\} \to \mathcal{V} | \dot{\vec{f}}(t_0):=\lim_{t\to t_0}(\frac{1}{t-t_0}(\vec{f}(t)-\vec{f}(t_0))) \forall t_{0}|\vec{f}\text{ sia derivabile in }t_{0} \)[/*:m:1qsr8n09][/list:o:1qsr8n09]
Siano \(\displaystyle \hat{u} \) e \(\displaystyle t \) tali che rispettino tutte le seguenti condizioni:
[list=1]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \hat{u}:\mathcal{D}_{\hat{u}} \to \mathcal{V} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \emptyset \neq \mathcal{D}_{\hat{u}} \subseteq \mathbb{R} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle |\hat{u}(t')|=1 \forall t' \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \hat{u} \) è derivabile in \(\displaystyle t \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) \neq \vec{0_{\mathcal{V}}} \)[/*:m:1qsr8n09][/list:o:1qsr8n09]
Ovviamente si ha \(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) = |\dot{\hat{u}}(t)|(vers \circ \dot{\hat{u}})(t) \)
Da qui in poi il mio professore asserisce che, siccome il versore nel tempo cambierà solamente la direzione, \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| \) può essere espresso come la "variazione dell'angolo di \(\displaystyle \hat{u} \)"
In seguito ha definito graficamente un \(\displaystyle \theta \) come illustrato nella seguente immagine
Scrivendo poi \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| = \dot{\theta}(t) \)
Non riesco a dare nessuna definizione "precisa" della funzione \(\displaystyle \theta \) che possa dare un senso alla equazione precedente (che mi viene in mente almeno)
L'unica cosa che per me avrebbe senso è definire una funzione \(\displaystyle \theta_{t}:\{\Delta t \in \mathbb{R} | t+\Delta t \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \} \to \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \theta_{t}(\Delta t) \) sia per definizione l'angolo tra \(\displaystyle \hat{u}(t+\Delta t) \) e \(\displaystyle \hat{u}(t) \) per ogni \(\displaystyle \Delta t \in \mathbb{R} | t+\Delta t \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \) e riscrivere l'equazione precedente nel seguente modo \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| = \dot{\theta_t}(0) \)
Mi potreste aiutarmi a chiarirmi le idee? Ho provato a chiedere al professore ma continuo a non capire
[list=1]
[*:1qsr8n09]Con \(\displaystyle \sim \) indico la relazione di equivalenza sull'insieme \(\displaystyle (\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}) \) tale che, per ogni \(\displaystyle (a,b) \in ((\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}))^{2} \), si abbia \(\displaystyle a \sim b \iff \text{"} a \text{ e } b \text{ hanno direzioni parallele, lo stesso modulo e lo stesso verso"} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Con \(\displaystyle \mathcal{V} \) indico lo spazio vettoriale \(\displaystyle ((\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3})) / \sim \) (sul campo \(\displaystyle \mathbb{R} \))[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Indico con \(\displaystyle \vec{0_{\mathcal{V}}} \) l'elemento nullo rispetto alla somma di \(\displaystyle \mathcal{V} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Per ogni \(\displaystyle \vec{v} \in \mathcal{V} \) si indica con \(\displaystyle |\vec{v}| \) il modulo di un qualsiasi \(\displaystyle (v_{1},v_{2}) \in (\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}) \) tale che \(\displaystyle [(v_1,v_2)]_{\sim}=\vec{v} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Indico con \(\displaystyle vers \) la funzione definita nel seguente modo: \(\displaystyle vers:\mathcal{V}\backslash\{\vec{0_{\mathcal{V}}}\} \to \mathcal{V} | vers(\vec{v}):=\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v} \forall \vec{v} \in \mathcal{V}\backslash\{\vec{0_{\mathcal{V}}}\} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09] Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} | \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \), \(\displaystyle t_{0} \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \vec{l}\in\mathcal{V} \), si ha \(\displaystyle \vec{l}=\lim_{t\to t_0}(\vec{f}(t)) \) se e solo se \(\displaystyle t_0 \) è un punto di accumulazione di \(\displaystyle \mathcal{D} \) e \(\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{+}, \exists \delta \in \mathbb{R}^{+} | \forall t \in \mathcal{D} \cap ( (t_{0}-\delta,t_{0}) \cup (t_{0},t_{0}+\delta) ), | \vec{f}(t) - \vec{l}| < \varepsilon \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} | \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}\), \(\displaystyle \vec{f} \) è derivabile in \(\displaystyle t_0 \) se e solo se sono rispettate tutte le seguenti condizioni:
[list=1]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle t_0 \in \mathcal{D} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle t_0 \) è un punto di accumulazione di \(\displaystyle \mathcal{D} \backslash \{t_0 \} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \exists \vec{l} \in \mathcal{V} | \vec{l} = \lim_{t\to t_0}(\frac{1}{t-t_0}(\vec{f}(t)-\vec{f}(t_0))) \)[/*:m:1qsr8n09][/list:o:1qsr8n09][/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} \) tale che \(\displaystyle \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}\) ed esista (almeno un) \(\displaystyle t_0 \) tale che \(\displaystyle \vec{f} \) sia derivabile in \(\displaystyle t_0 \), indico con \(\displaystyle \dot{\vec{f}} \) la funzione "derivata di \(\displaystyle \vec{f} \)" definita nel seguente modo: \(\displaystyle \dot{\vec{f}}: \{t_{0}|\vec{f}\text{ sia derivabile in }t_{0}\} \to \mathcal{V} | \dot{\vec{f}}(t_0):=\lim_{t\to t_0}(\frac{1}{t-t_0}(\vec{f}(t)-\vec{f}(t_0))) \forall t_{0}|\vec{f}\text{ sia derivabile in }t_{0} \)[/*:m:1qsr8n09][/list:o:1qsr8n09]
Siano \(\displaystyle \hat{u} \) e \(\displaystyle t \) tali che rispettino tutte le seguenti condizioni:
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[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \hat{u}:\mathcal{D}_{\hat{u}} \to \mathcal{V} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \emptyset \neq \mathcal{D}_{\hat{u}} \subseteq \mathbb{R} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle |\hat{u}(t')|=1 \forall t' \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \hat{u} \) è derivabile in \(\displaystyle t \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]\(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) \neq \vec{0_{\mathcal{V}}} \)[/*:m:1qsr8n09][/list:o:1qsr8n09]
Ovviamente si ha \(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) = |\dot{\hat{u}}(t)|(vers \circ \dot{\hat{u}})(t) \)
Da qui in poi il mio professore asserisce che, siccome il versore nel tempo cambierà solamente la direzione, \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| \) può essere espresso come la "variazione dell'angolo di \(\displaystyle \hat{u} \)"
In seguito ha definito graficamente un \(\displaystyle \theta \) come illustrato nella seguente immagine
Scrivendo poi \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| = \dot{\theta}(t) \)
Non riesco a dare nessuna definizione "precisa" della funzione \(\displaystyle \theta \) che possa dare un senso alla equazione precedente (che mi viene in mente almeno)
L'unica cosa che per me avrebbe senso è definire una funzione \(\displaystyle \theta_{t}:\{\Delta t \in \mathbb{R} | t+\Delta t \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \} \to \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \theta_{t}(\Delta t) \) sia per definizione l'angolo tra \(\displaystyle \hat{u}(t+\Delta t) \) e \(\displaystyle \hat{u}(t) \) per ogni \(\displaystyle \Delta t \in \mathbb{R} | t+\Delta t \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \) e riscrivere l'equazione precedente nel seguente modo \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| = \dot{\theta_t}(0) \)
Mi potreste aiutarmi a chiarirmi le idee? Ho provato a chiedere al professore ma continuo a non capire
Risposte
Stai pensando in termini troppo formali. Il formalismo eccessivo non ti fa capire i concetti: "you can't see the forest for the trees" si dice in inglese.
Comunque, se proprio vuoi una spiegazione in matematichese eccola qua. Tutti i vettori di \(\mathbb R^2\) di modulo \(1\) sono dati da \((\cos \theta, \sin \theta)\) per un \(\theta \in \mathbb R\). Il tuo vettore \(\hat u=\hat u(t)\) dipendente dal tempo quindi soddisfa
\[
\hat u(t)=(\cos (\theta(t)), \sin (\theta(t)))\]
per una funzione \(\theta=\theta(t)\) a valori reali. E quindi la derivata verifica
\[
\frac{d \hat u }{dt} = ( -\dot{\theta}(t) \sin(\theta(t)), \dot{\theta}(t) \cos(\theta(t))), \]
il cui modulo è
\[
\left\lvert \frac{d \hat u }{dt}\right\rvert^2= (\dot\theta(t))^2(\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)))=(\dot \theta(t))^2.\]
E questo è esattamente quanto affermato dal tuo prof.
Comunque, se proprio vuoi una spiegazione in matematichese eccola qua. Tutti i vettori di \(\mathbb R^2\) di modulo \(1\) sono dati da \((\cos \theta, \sin \theta)\) per un \(\theta \in \mathbb R\). Il tuo vettore \(\hat u=\hat u(t)\) dipendente dal tempo quindi soddisfa
\[
\hat u(t)=(\cos (\theta(t)), \sin (\theta(t)))\]
per una funzione \(\theta=\theta(t)\) a valori reali. E quindi la derivata verifica
\[
\frac{d \hat u }{dt} = ( -\dot{\theta}(t) \sin(\theta(t)), \dot{\theta}(t) \cos(\theta(t))), \]
il cui modulo è
\[
\left\lvert \frac{d \hat u }{dt}\right\rvert^2= (\dot\theta(t))^2(\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)))=(\dot \theta(t))^2.\]
E questo è esattamente quanto affermato dal tuo prof.
"dissonance":
Stai pensando in termini troppo formali. Il formalismo eccessivo non ti fa capire i concetti: "you can't see the forest for the trees" si dice in inglese.
Comunque, se proprio vuoi una spiegazione in matematichese eccola qua. Tutti i vettori di \(\mathbb R^2\) di modulo \(1\) sono dati da \((\cos \theta, \sin \theta)\) per un \(\theta \in \mathbb R\). Il tuo vettore \(\hat u=\hat u(t)\) dipendente dal tempo quindi soddisfa
\[
\hat u(t)=(\cos (\theta(t)), \sin (\theta(t)))\]
per una funzione \(\theta=\theta(t)\) a valori reali. E quindi la derivata verifica
\[
\frac{d \hat u }{dt} = ( -\dot{\theta}(t) \sin(\theta(t)), \dot{\theta}(t) \cos(\theta(t))), \]
il cui modulo è
\[
\left\lvert \frac{d \hat u }{dt}\right\rvert^2= (\dot\theta(t))^2(\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)))=(\dot \theta(t))^2.\]
E questo è esattamente quanto affermato dal tuo prof.
La funzione che ho definito però è tridimensionale, quindi non necessariamente si "muove" in un piano.
Quindi le cose sono due: o devo tenere in considerazione due angoli oppure il professore in maniera poco chiara è passato da un contesto tridimensionale ad uno bidimensionale
.
Ah ecco, questo non lo avevo notato. Il tuo è uno dei tipici dubbi degli studenti di fisica con inclinazioni matematiche (come disse Fioravante Patrone).
Hai ragione che se volessimo fare lo stesso discorso matematichese del mio post precedente dovremmo introdurre le coordinate sferiche, quindi 2 angoli e conti più complicati. Si può fare. Ma quello che il prof intende, e da per sottointeso, è che ogni movimento tridimensionale infinitesimo è piano.
*ATTENZIONE*. Nel seguito ho scritto \(\theta(t)\) ma volevo dire \(u(t)\). Non ho tempo di correggere, purtroppo. Ogni occorrenza di \(\theta(t)\) va letta \(u(t)\).
Più precisamente, ma sempre con il linguaggio dei fisici, ricordiamoci che
\[
\dot \theta(t)\, dt = \theta(t+dt)-\theta(t).\]
Quindi \(\dot \theta(t)\) è "la differenza di due vettori". Perciò, \(\dot \theta(t)\) appartiene al piano generato da \(\theta(t+dt)\) e \(\theta(t)\) e si può applicare il ragionamento precedente in questo piano. Immagino che questo sia ciò che ha in mente il tuo prof, specie se è un fisico.
Matematicamente questo non ha molto senso, ma lo acquista al limite; infatti, matematicamente
\[
\dot \theta(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t},\]
che è la versione rigorosa dell'equazione precedente.
Il piano in questo caso è quello generato da \(\theta(t)\) e \(\dot\theta(t)\). È meno chiaro, perché questa ultima affermazione è ovvia: ho appena detto che \(\dot \theta(t)\) appartiene al piano generato da \(\dot \theta (t)\) e da un altro vettore, una ovvietà. Ma una volta fissato un piano, in quel piano si fissa anche una coordinata angolare, e a quel punto scatta il ragionamento del mio post precedente.
Hai ragione che se volessimo fare lo stesso discorso matematichese del mio post precedente dovremmo introdurre le coordinate sferiche, quindi 2 angoli e conti più complicati. Si può fare. Ma quello che il prof intende, e da per sottointeso, è che ogni movimento tridimensionale infinitesimo è piano.
*ATTENZIONE*. Nel seguito ho scritto \(\theta(t)\) ma volevo dire \(u(t)\). Non ho tempo di correggere, purtroppo. Ogni occorrenza di \(\theta(t)\) va letta \(u(t)\).
Più precisamente, ma sempre con il linguaggio dei fisici, ricordiamoci che
\[
\dot \theta(t)\, dt = \theta(t+dt)-\theta(t).\]
Quindi \(\dot \theta(t)\) è "la differenza di due vettori". Perciò, \(\dot \theta(t)\) appartiene al piano generato da \(\theta(t+dt)\) e \(\theta(t)\) e si può applicare il ragionamento precedente in questo piano. Immagino che questo sia ciò che ha in mente il tuo prof, specie se è un fisico.
Matematicamente questo non ha molto senso, ma lo acquista al limite; infatti, matematicamente
\[
\dot \theta(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t},\]
che è la versione rigorosa dell'equazione precedente.
Il piano in questo caso è quello generato da \(\theta(t)\) e \(\dot\theta(t)\). È meno chiaro, perché questa ultima affermazione è ovvia: ho appena detto che \(\dot \theta(t)\) appartiene al piano generato da \(\dot \theta (t)\) e da un altro vettore, una ovvietà. Ma una volta fissato un piano, in quel piano si fissa anche una coordinata angolare, e a quel punto scatta il ragionamento del mio post precedente.
Ma tutte queste definizioni sono state fornite dal professore? Sembrano allo stesso tempo imprecise ed eccessivamente convolute. [strike]L'insieme \((\mathbb R^3 \times \mathbb R^3)/\sim\) non è ad esempio uno spazio vettoriale come scritto perché \([v] + [w] \neq [v + w]\) (per vederlo possiamo considerare una base ortonormale \(\mathbf i, \mathbf j\) e vedere che \(2\mathbf i + \mathbf j \nsim \mathbf i + 2\mathbf j \nsim 2(\mathbf i + \mathbf j)\)). Inoltre non capisco perché considerare quell'insieme complicato (non connesso perché contiene anche lo zero), invece di lavorare con la sfera \(S^2\) (un sottoinsieme chiuso, compatto e connesso di \(\mathbb R^3\)).[/strike]
Sul dubbio credo che un altro metodo sarebbe quello di considerare la definizione della lunghezza della derivata in cui si calcola il limite tra la lunghezza di una "corda sulla sfera" (la differenza tra i due versori) e \(dt\). Se \(\theta(t)\) è l'angolo, allora la lunghezza della corda sarà \(2\,\sin(\theta/2)\). Siccome \(\sin\,x \sim x\) quando \(x\) tende a zero, puoi allora sostituire nel limite la lunghezza della corda con quella dell'arco corrispondente e ottenere il tuo risultato.
EDIT: Avevo frainteso cosa fosse quell'insieme.
Sul dubbio credo che un altro metodo sarebbe quello di considerare la definizione della lunghezza della derivata in cui si calcola il limite tra la lunghezza di una "corda sulla sfera" (la differenza tra i due versori) e \(dt\). Se \(\theta(t)\) è l'angolo, allora la lunghezza della corda sarà \(2\,\sin(\theta/2)\). Siccome \(\sin\,x \sim x\) quando \(x\) tende a zero, puoi allora sostituire nel limite la lunghezza della corda con quella dell'arco corrispondente e ottenere il tuo risultato.
EDIT: Avevo frainteso cosa fosse quell'insieme.
Quindi, riprendendo da ciò che ho scritto originariamente...
[list=1]
[*:3sphh4ov] Indico con \(\displaystyle \pi_{t} \) il piano generato da \(\displaystyle \hat{u}(t) \) e \(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov] Definisco la funzione \(\displaystyle \vec{f}_{t}:\mathcal{D}_{\hat{u}} \to \mathcal{V} \) tale che \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t') \) sia la proiezione di \(\displaystyle \hat{u}(t') \) sul piano \(\displaystyle \pi_{t} \) per ogni \(\displaystyle t' \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \)[/*:m:3sphh4ov][/list:o:3sphh4ov]
(notare il "\(\displaystyle t \)" come pedice)
Ovviamente \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t_1) \), \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t_2) \) e \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t_3) \) sono tra loro complanari per ogni \(\displaystyle (t_1,t_2,t_3) \in \mathcal{D}_{\hat{u}}^3 \)
Quindi la funzione (reale a variabile reale) \(\displaystyle \theta \) presente in questa equazione
è in realtà la funzione (reale a variabile reale) \(\displaystyle \theta_{t} \) (N.B. \(\displaystyle \theta_{t} \) è l'identificativo della funzione) tale che \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t') \) sia "equivalente" (formalmente tramite un isomorfismo) al vettore \(\displaystyle (|\vec{f}_{t}(t')|\cos (\theta_{t}(t')), |\vec{f}_{t}(t')|\sin (\theta_{t}(t')),0) \) per ogni \(\displaystyle t' \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \)?
Quindi si avrebbe in realtà \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| = \dot{\theta_{t}}(t) \)?
"eMCee":
Di seguito darò per vere le seguenti definizioni, notazioni e convenzioni:
[list=1]
[*:3sphh4ov]Con \(\displaystyle \sim \) indico la relazione di equivalenza sull'insieme \(\displaystyle (\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}) \) tale che, per ogni \(\displaystyle (a,b) \in ((\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}))^{2} \), si abbia \(\displaystyle a \sim b \iff \text{"} a \text{ e } b \text{ hanno direzioni parallele, lo stesso modulo e lo stesso verso"} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]Con \(\displaystyle \mathcal{V} \) indico lo spazio vettoriale \(\displaystyle ((\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3})) / \sim \) (sul campo \(\displaystyle \mathbb{R} \))[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]Indico con \(\displaystyle \vec{0_{\mathcal{V}}} \) l'elemento nullo rispetto alla somma di \(\displaystyle \mathcal{V} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]Per ogni \(\displaystyle \vec{v} \in \mathcal{V} \) si indica con \(\displaystyle |\vec{v}| \) il modulo di un qualsiasi \(\displaystyle (v_{1},v_{2}) \in (\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}) \) tale che \(\displaystyle [(v_1,v_2)]_{\sim}=\vec{v} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]Indico con \(\displaystyle vers \) la funzione definita nel seguente modo: \(\displaystyle vers:\mathcal{V}\backslash\{\vec{0_{\mathcal{V}}}\} \to \mathcal{V} | vers(\vec{v}):=\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v} \forall \vec{v} \in \mathcal{V}\backslash\{\vec{0_{\mathcal{V}}}\} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov] Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} | \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \), \(\displaystyle t_{0} \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \vec{l}\in\mathcal{V} \), si ha \(\displaystyle \vec{l}=\lim_{t\to t_0}(\vec{f}(t)) \) se e solo se \(\displaystyle t_0 \) è un punto di accumulazione di \(\displaystyle \mathcal{D} \) e \(\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{+}, \exists \delta \in \mathbb{R}^{+} | \forall t \in \mathcal{D} \cap ( (t_{0}-\delta,t_{0}) \cup (t_{0},t_{0}+\delta) ), | \vec{f}(t) - \vec{l}| < \varepsilon \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} | \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}\), \(\displaystyle \vec{f} \) è derivabile in \(\displaystyle t_0 \) se e solo se sono rispettate tutte le seguenti condizioni:
[list=1]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle t_0 \in \mathcal{D} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle t_0 \) è un punto di accumulazione di \(\displaystyle \mathcal{D} \backslash \{t_0 \} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle \exists \vec{l} \in \mathcal{V} | \vec{l} = \lim_{t\to t_0}(\frac{1}{t-t_0}(\vec{f}(t)-\vec{f}(t_0))) \)[/*:m:3sphh4ov][/list:o:3sphh4ov][/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]Per ogni \(\displaystyle \vec{f}:\mathcal{D} \to \mathcal{V} \) tale che \(\displaystyle \emptyset \neq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}\) ed esista (almeno un) \(\displaystyle t_0 \) tale che \(\displaystyle \vec{f} \) sia derivabile in \(\displaystyle t_0 \), indico con \(\displaystyle \dot{\vec{f}} \) la funzione "derivata di \(\displaystyle \vec{f} \)" definita nel seguente modo: \(\displaystyle \dot{\vec{f}}: \{t_{0}|\vec{f}\text{ sia derivabile in }t_{0}\} \to \mathcal{V} | \dot{\vec{f}}(t_0):=\lim_{t\to t_0}(\frac{1}{t-t_0}(\vec{f}(t)-\vec{f}(t_0))) \forall t_{0}|\vec{f}\text{ sia derivabile in }t_{0} \)[/*:m:3sphh4ov][/list:o:3sphh4ov]
Siano \(\displaystyle \hat{u} \) e \(\displaystyle t \) tali che rispettino tutte le seguenti condizioni:
[list=1]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle \hat{u}:\mathcal{D}_{\hat{u}} \to \mathcal{V} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle \emptyset \neq \mathcal{D}_{\hat{u}} \subseteq \mathbb{R} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle |\hat{u}(t')|=1 \forall t' \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle \hat{u} \) è derivabile in \(\displaystyle t \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov]\(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) \neq \vec{0_{\mathcal{V}}} \)[/*:m:3sphh4ov][/list:o:3sphh4ov]
Ovviamente si ha \(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) = |\dot{\hat{u}}(t)|(vers \circ \dot{\hat{u}})(t) \)
[...]
[list=1]
[*:3sphh4ov] Indico con \(\displaystyle \pi_{t} \) il piano generato da \(\displaystyle \hat{u}(t) \) e \(\displaystyle \dot{\hat{u}}(t) \)[/*:m:3sphh4ov]
[*:3sphh4ov] Definisco la funzione \(\displaystyle \vec{f}_{t}:\mathcal{D}_{\hat{u}} \to \mathcal{V} \) tale che \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t') \) sia la proiezione di \(\displaystyle \hat{u}(t') \) sul piano \(\displaystyle \pi_{t} \) per ogni \(\displaystyle t' \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \)[/*:m:3sphh4ov][/list:o:3sphh4ov]
(notare il "\(\displaystyle t \)" come pedice)
Ovviamente \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t_1) \), \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t_2) \) e \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t_3) \) sono tra loro complanari per ogni \(\displaystyle (t_1,t_2,t_3) \in \mathcal{D}_{\hat{u}}^3 \)
Quindi la funzione (reale a variabile reale) \(\displaystyle \theta \) presente in questa equazione
"eMCee":
[...]
Scrivendo poi \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| = \dot{\theta}(t) \)
[...]
è in realtà la funzione (reale a variabile reale) \(\displaystyle \theta_{t} \) (N.B. \(\displaystyle \theta_{t} \) è l'identificativo della funzione) tale che \(\displaystyle \vec{f}_{t}(t') \) sia "equivalente" (formalmente tramite un isomorfismo) al vettore \(\displaystyle (|\vec{f}_{t}(t')|\cos (\theta_{t}(t')), |\vec{f}_{t}(t')|\sin (\theta_{t}(t')),0) \) per ogni \(\displaystyle t' \in \mathcal{D}_{\hat{u}} \)?
Quindi si avrebbe in realtà \(\displaystyle |\dot{\hat{u}}(t)| = \dot{\theta_{t}}(t) \)?
In formule
\[
\begin{align}
|\dot{u}(t)| &= | \lim_{h \to 0} \frac{u(t + h) + u(t)}{h} | \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{|u(t + h) + u(t)|}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin(\theta(h)/2)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\theta(h)}{h} \\
&= \dot{\theta}(0)
\end{align}
\]
Ovviamente la funzione \(\theta\) esiste solo in un intorno di \(t\).
EDIT: mi riferisco a quanto scritto prima.
\[
\begin{align}
|\dot{u}(t)| &= | \lim_{h \to 0} \frac{u(t + h) + u(t)}{h} | \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{|u(t + h) + u(t)|}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin(\theta(h)/2)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\theta(h)}{h} \\
&= \dot{\theta}(0)
\end{align}
\]
Ovviamente la funzione \(\theta\) esiste solo in un intorno di \(t\).
EDIT: mi riferisco a quanto scritto prima.
"apatriarca":
In formule
\[
\begin{align}
|\dot{u}(t)| &= | \lim_{h \to 0} \frac{u(t + h) + u(t)}{h} | \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{|u(t + h) + u(t)|}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin(\theta(h)/2)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\theta(h)}{h} \\
&= \dot{\theta}(0)
\end{align}
\]
Ovviamente la funzione \(\theta\) esiste solo in un intorno di \(t\).
EDIT: mi riferisco a quanto scritto prima.
Scusami prima di iniziare a scrivere il mio ultimo post i tuoi messaggi non c'erano, domani riprendo in mano l'argomento (una cosa la dico però al volo: quello che io indico con \(\displaystyle \mathcal{V} \) è chiamato, nel mio corso di Algebra e Geometria Lineare, "Spazio dei vettori liberi")
Avevo frainteso cosa fosse quello spazio. Quindi nella tua notazione stai partendo dall'insieme dei vettori applicati \(\mathbb R^3 \times \mathbb R^3\) (come sono rappresentati? Punto di partenza e di fine? Punto di applicazione e "vettore libero"?) e definisci una relazione su di essi per ottenere l'insieme dei vettori liberi \(\mathcal V\) che osservi formare uno spazio vettoriale? Sinceramente esistono definizioni più semplici con cui lavorare.
Vorrei solo aggiungere che se si lavora in tre dimensioni quel concetto di angolo è solo locale. Non viene fuori dall'uso di coordinate sferiche come in quello delle coordinate polari nel piano. Hai infatti che se definissi la tua funzione in coordinate sferiche avresti che
\[ \left| \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dt} \right|^2 = \left.\frac{dr}{dt}\right.^2 + r^2\,\left.\frac{d\theta}{dt}\right.^2 + r^2\,\sin^2\theta\,\left.\frac{d\varphi}{dt}\right.^2 = \left.\frac{d\theta}{dt}\right.^2 + \sin^2\theta\,\left.\frac{d\varphi}{dt}\right.^2 \]
La dimostrazione fa uso della formula di cambio di variabili
\[ \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dr}\,\frac{dr}{dt} + \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\theta}\,\frac{d\theta}{dt} + \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\varphi}\,\frac{d\varphi}{dt} = \left|\frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dr}\right|\,\frac{dr}{dt}\,\boldsymbol{\hat{r}} + \left|\frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\theta}\right|\,\frac{d\theta}{dt}\,\boldsymbol{\hat{\theta}} + \left|\frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\varphi}\right|\,\frac{d\varphi}{dt}\,\boldsymbol{\hat{\varphi}} \]
applicata alla transformazione
\[
\begin{cases}
x = r\,\cos\theta\,\sin\varphi \\
y = r\,\sin\theta\,\sin\varphi \\
z = r\,\cos\varphi \\
\end{cases}
\]
Tuttavia localmente puoi sempre limitarti ad un piano e osservare che la variazione è uguale alla variazione nell'angolo.
Vorrei solo aggiungere che se si lavora in tre dimensioni quel concetto di angolo è solo locale. Non viene fuori dall'uso di coordinate sferiche come in quello delle coordinate polari nel piano. Hai infatti che se definissi la tua funzione in coordinate sferiche avresti che
\[ \left| \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dt} \right|^2 = \left.\frac{dr}{dt}\right.^2 + r^2\,\left.\frac{d\theta}{dt}\right.^2 + r^2\,\sin^2\theta\,\left.\frac{d\varphi}{dt}\right.^2 = \left.\frac{d\theta}{dt}\right.^2 + \sin^2\theta\,\left.\frac{d\varphi}{dt}\right.^2 \]
La dimostrazione fa uso della formula di cambio di variabili
\[ \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dr}\,\frac{dr}{dt} + \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\theta}\,\frac{d\theta}{dt} + \frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\varphi}\,\frac{d\varphi}{dt} = \left|\frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{dr}\right|\,\frac{dr}{dt}\,\boldsymbol{\hat{r}} + \left|\frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\theta}\right|\,\frac{d\theta}{dt}\,\boldsymbol{\hat{\theta}} + \left|\frac{d\boldsymbol{\hat{u}}}{d\varphi}\right|\,\frac{d\varphi}{dt}\,\boldsymbol{\hat{\varphi}} \]
applicata alla transformazione
\[
\begin{cases}
x = r\,\cos\theta\,\sin\varphi \\
y = r\,\sin\theta\,\sin\varphi \\
z = r\,\cos\varphi \\
\end{cases}
\]
Tuttavia localmente puoi sempre limitarti ad un piano e osservare che la variazione è uguale alla variazione nell'angolo.
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