Dubbio isomorfismi tra spazi vettoriali

[dattolico_007]

Ho studiato due piccole proposizioni:
- Siano $(V,+,*)$ e $(W,+,*)$ due spazi vettoriali isomorfi. Esiste quindi un isomorfismo $f:V->W$. Si dimostra facilmente che $dimV=dimW$.
- Siano $(V,+,*)$ e $(W,+,*)$ due spazi vettoriali finitamente generati. Se $dimV=dimW$ allora $V$ e $W$ sono isomorfi.

So di avere la risposta sott'occhio ma mi è sorto un dubbio.
Mi basta sapere che la dimensione dei due spazi sia uguale perché sia un isomorfismo?

Grazie in anticipo.

[megas_archon]

Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione, sì. Ovviamente (ed è un'ovvietà che è bene sottolineare) non significa che ogni \(f :V\to W\) tra $V,W$ della stessa dimensione sarà un isomorfismo, significa solamente che ne esiste almeno uno, da qualche parte.

La parte "difficile" è chiaramente costruire un isomorfismo sapendo che le dimensioni sono uguali; questo si può fare in tanti modi diversi, tutti essenzialmente equivalenti.

[dattolico_007]

Ecco era proprio l'ovvietà che mi mancava. Credevo che ogni applicazione tra due spazi vettoriali con dimensioni uguali, fosse un isomorfismo. Invece vuol dire solo che ne esiste almeno una.
Ti ringrazio

[megas_archon]

E infatti avevo il sentore tu stessi cadendo in questa trappola: ma se ci pensi non sta proprio neque in caelo neque in terra neque subtus terram, perché c'è sempre la mappa zero \(f : V\to W\)...