Dimostrazione su sottospazi affini

[oleg.fresi]

Buongiorno. Sto provando a dimostrare che se dato un sottospazio affine $S={P inA|QP inW}$, esso descrive la struttura di spazio affine. Prima di tutto, il sottospazio affine è la tripla $(S,W,pi')$ con $WsubeV$ dove $V$ è la giacitura dello spazio affine $A$ e $SsubeA$ e $pi':SXS->W$. Per dimostrare il teorema, prima ho osservato che dati $P_1,P_2inS$,
$QP_1inW$ e $QP_2inW$. Ora bisogna dimostrare che l'applicazione $pi'$ soddisfa i due assiomi, ovvero
1)$AAP inS, AAvinV EE!Q in S$ $t.c. PQ=v$
2)$AAP,Q,R in S$ $t.c. PQ+QR=PR$
Il secondo assioma essendo valido in A, è pure valido in S.
Il problema rimane dimostrare che il punto Q è unico ed esiste in S.
Sapreste aiutarmi a concludere la dimostrazione?

[apatriarca]

Sia \(P \in S_Q\) e \(v \in W\). Ti viene chiesto di dimostrare che esiste un unico \(R \in S_Q\) tale che \(PR = v\). Abbiamo per ipotesi che \(P \in A\) e che \(v \in V\) per cui esiste un unico \(R^* \in A\) per cui \(PR^* = v\). Siccome \(S_Q \subseteq A\) abbiamo che \(R\) deve necessariamente essere uguale a \(R^*\) o non esistere. Se infatti esistesse e fosse diverso da \(R^*\), esisterebbero due elementi diversi in \(A\) per cui l'assioma sia verificato e quindi \(A\) non sarebbe uno spazio affine. Dobbiamo quindi mostrare che \(QR \in W\). Sappiamo però che \(PR \in W\) e \(QP \in W\) da cui \(QP + PR = QR \in W\).