Esempio componenti connesse per archi non aperte

[Angus1956]

Prendiamo $RR$ con la topologia euclidea, $QQsubRR$ con la topologia indotta, abbiamo che:
1) $QQ$ è sconnesso poichè se prendo $ainRR\\QQ$ abbiamo che $(-infty,a)nnQQ$ e $(a,+infty)nnQQ$ sono due aperti disgiunti di $QQ$ la cui unione fa $QQ$. Quindi $QQ$ è sconnesso per archi.
2)Le componenti connesse per archi sono i singoli punti $x inQQ$, infatti se per assurdo $y$ facesse parte della componente connessa per archi di $x$ (supponiamo $x 3) Le componenti connesse per archi ${x}$ non sono aperte, infatti se fossero un aperte allora esisterebbe un aperto $A$ in $RR$ che intersecato con $QQ$ farebbe ${x}$, in particolare esiste un aperto della base tale che $(a,b)subA$ e $((a,b)nnQQ)sub(AnnQQ)={x}$. Ma allora per densità di $QQ$ l'insieme $(a,b)nnQQ=((a,(a+b)/2]uu((a+b)/2,b))nnQQ=((a,(a+b)/2]nnQQ)uu(((a+b)/2,b)nnQQ)$ conterebbe almeno due razionali distinti, quindi ${x}$ conterebbe almeno due razionali distinti, assurdo per quanto detto nel punto 2)

Può andare bene?

[otta96]

Si.

[ViciousGoblin]

Un'osservazione. Nell'esempio (corretto) succede che nessuna componente connessa dello spazio considerato è aperta.
A maggior ragione non ci sono componenti connese per archi aperte (connesso per archi=> connesso). Insomma qui la connessione per archi sembra marginale.
Sarebbe interessante un esempio in cui le componenti connesse sono aperte ma ci sono componenti connesse per archi non aperte...

[otta96]

"ViciousGoblin":un esempio in cui le componenti connesse sono aperte ma ci sono componenti connesse non aperte...

??

[ViciousGoblin]

Scusate correggo

[otta96]

Ok allora lo spazio non può essere localmente connesso per archi, basta prendere il seno del topologo $X={0}\times[-1,1]uu{(x,sin(1/x))|x\in(0,1]}$, è connesso (quindi l'unica componente connessa è aperta) ma una componente connessa per archi è ${0}\times[-1,1]$ che è chiusa (e quindi il complementare che è l'altra è aperta), ma non aperta. Un esempio in cui tutte le componenti non sono aperte potrebbe essere più difficile.

[ViciousGoblin]

Ok. Io comunque l'esempio lo conoscevo. Credevo utile stimolare la riflessione dell'estensore del post originale.

[otta96]

Ah ecco, comunque almeno ora lo conosce.

[Angus1956]

grazie a tutti

[Angus1956]

"otta96":Ok allora lo spazio non può essere localmente connesso per archi, basta prendere il seno del topologo $X={0}\times[-1,1]uu{(x,sin(1/x))|x\in(0,1]}$, è connesso (quindi l'unica componente connessa è aperta) ma una componente connessa per archi è ${0}\times[-1,1]$ che è chiusa (e quindi il complementare che è l'altra è aperta), ma non aperta. Un esempio in cui tutte le componenti non sono aperte potrebbe essere più difficile.

Il seno del topologo è un esempio di chiuso connesso di $RR^2$ che non è connesso per archi, giusto? (volevo trovare un controesempio di chiuso connesso in $RR^n$ che non sia connesso per archi)

[j18eos]

Sparo: il seno del topologo per \(\mathbb{R}^{n-2}\) con la topologia prodotto?

[otta96]

@j18eos eh si

[Angus1956]

"j18eos":Sparo: il seno del topologo per \(\mathbb{R}^{n-2}\) con la topologia prodotto?

Ok, quindi $({0}\times[-1,1]uu{(x,sin(1/x))|x\in(0,1]})xxRR^(n-2)$ con topologia euclidea di $RR^n$ (che coincide con quella di prodotto fra $RR^2xxRR^(n-2)$).

[j18eos]

@otta86 Grazie!

@andreadel1988 Sì, intendo proprio questo!