Dubbio su una dimostrazione
Ciao,
credo di avere un dubbio di cui mi vergogno quasi perché è un po' scemo.
C'è una dimostrazione in algebra lineare dove devo mostrare che$W$ E $W^+$ (ove con + intendo ortogonale) haN intersezione nulla.
1) a questo punto $zinW∩W^+ => z=0$, questo è ovvio dalle definizioni dato che z sta in W ma anche nell'ortogonale che per definizione è dato dai vettori ortogonali a quelli in W, allora sarà ortogonale anche a se stesso, quindi $||z||=0$ da cui $z=0$ per proprietà della norma.
Detto ciò mi pongo un dilemma, questo mi sembra già concludere la dimostrazione perché ogni elemento in quella intersezione è il vettore nullo.
2) Tuttavia di fatto propriamente questa dimostrazione vista al punto 1) dice solo che
$zinW∩W^+ => zin{0}$ (dato che z=0 è la proprietà di stare nell'insieme con il solo vettore nullo) che equivale a dire $W∩W^+⊆{\vec0}$
mancherebbe l'altra inclusione è ovvia ${\vec0}⊆zinW∩W^+$ perché sempre valida
quindi: ${\vec0}=zinW∩W^+$
Ma a parte l'ovvietà della seconda inclusione (della strada percorsa al punto 2) ) di fatto mi sembra proprio superfluo compiere quel passaggio anche solo mentale, infatti $zinW∩W^+ => z=0$ non vuol già dire che OGNI elemento che sta nell'intersezione è il vettore nullo? Non esprime già così l'uguaglianza ${\vec0}=zinW∩W^+$ la doppia inclusione in tal caso è inutile perché già dico che "ogni" elemento è così fatto ed è "fatto" come lo zero.
Non so, mi sto aggrovigliando in questa cosa ma vorrei capire meglio come andrebbe vista.
credo di avere un dubbio di cui mi vergogno quasi perché è un po' scemo.
C'è una dimostrazione in algebra lineare dove devo mostrare che$W$ E $W^+$ (ove con + intendo ortogonale) haN intersezione nulla.
1) a questo punto $zinW∩W^+ => z=0$, questo è ovvio dalle definizioni dato che z sta in W ma anche nell'ortogonale che per definizione è dato dai vettori ortogonali a quelli in W, allora sarà ortogonale anche a se stesso, quindi $||z||=0$ da cui $z=0$ per proprietà della norma.
Detto ciò mi pongo un dilemma, questo mi sembra già concludere la dimostrazione perché ogni elemento in quella intersezione è il vettore nullo.
2) Tuttavia di fatto propriamente questa dimostrazione vista al punto 1) dice solo che
$zinW∩W^+ => zin{0}$ (dato che z=0 è la proprietà di stare nell'insieme con il solo vettore nullo) che equivale a dire $W∩W^+⊆{\vec0}$
mancherebbe l'altra inclusione è ovvia ${\vec0}⊆zinW∩W^+$ perché sempre valida
quindi: ${\vec0}=zinW∩W^+$
Ma a parte l'ovvietà della seconda inclusione (della strada percorsa al punto 2) ) di fatto mi sembra proprio superfluo compiere quel passaggio anche solo mentale, infatti $zinW∩W^+ => z=0$ non vuol già dire che OGNI elemento che sta nell'intersezione è il vettore nullo? Non esprime già così l'uguaglianza ${\vec0}=zinW∩W^+$ la doppia inclusione in tal caso è inutile perché già dico che "ogni" elemento è così fatto ed è "fatto" come lo zero.
Non so, mi sto aggrovigliando in questa cosa ma vorrei capire meglio come andrebbe vista.
Risposte
"matos":
infatti $zinW∩W^+ => z=0$ non vuol già dire che OGNI elemento che sta nell'intersezione è il vettore nullo? Non esprime già così l'uguaglianza ${\vec0}=zinW∩W^+$?
Praticamente il problema che poni è di tipo logico.
Dire $zinW∩W^+ => z=0$ equivale a dire che vale l'inclusione $W∩W^+sube{0}$, che è quella meno intuitiva...
Per l'altra inclusione basta notare che $zinW∩W^+ lArr z=0$ e quindi $W∩W^+supe{0}$, ma è così ovvio che il professore/libro che stai seguendo l'avrà omessa.
In sintesi dire $W∩W^+={0}$ equivale a dire $zinW∩W^+ <=> z=0$
Benissimo, era proprio quello che volevo dire nel mio punto 2).
Mi rimane però una domanda a riguardo, ossia che non capisco l'utilità di mostrare l'inclusione più ovvia... in fin dei conti, voglio dire: se io prendo un elemento di $W∩W^+$ e dico ogni elemento che assumo è del tipo $0$, allora già questo non basta a dire $W∩W^+={0}$, di fatto?
Perché ogni elemento contenuto nell'intersezione è solo e unicamente lo zero, quindi questo insieme (∩ nel nostro caso) si riduce al solo insieme contenente 0!
Mi rimane però una domanda a riguardo, ossia che non capisco l'utilità di mostrare l'inclusione più ovvia... in fin dei conti, voglio dire: se io prendo un elemento di $W∩W^+$ e dico ogni elemento che assumo è del tipo $0$, allora già questo non basta a dire $W∩W^+={0}$, di fatto?
Perché ogni elemento contenuto nell'intersezione è solo e unicamente lo zero, quindi questo insieme (∩ nel nostro caso) si riduce al solo insieme contenente 0!
beh si, se prendi $W∩W$ e dici che ogni elemento di questo insieme è 0, allora hai $W∩W={0}$;
Il problema è: dire che "ogni elemento di $W∩W$ è 0" equivale alla doppia inclusione, quindi implicitamente stai anche dicendo che ${0}subeW∩W$.
Immagina di prendere due insiemi, A e B, e dire che ogni elemento di A è anche in B.
Ciò non implica necessariamente che A=B, ma in generale solo che $AsubeB$.
Invece dire che ogni elemento di $W∩W$ è 0, equivale a dire $W∩W={0}$. è come se tu avessi definito appositamente l'insieme ${0}$ a partire dalla tua affermazione.
Spero tu abbia sciolto un po' le idee perchè più nel dettaglio di così non so andare
Il problema è: dire che "ogni elemento di $W∩W$ è 0" equivale alla doppia inclusione, quindi implicitamente stai anche dicendo che ${0}subeW∩W$.
Immagina di prendere due insiemi, A e B, e dire che ogni elemento di A è anche in B.
Ciò non implica necessariamente che A=B, ma in generale solo che $AsubeB$.
Invece dire che ogni elemento di $W∩W$ è 0, equivale a dire $W∩W={0}$. è come se tu avessi definito appositamente l'insieme ${0}$ a partire dalla tua affermazione.
Spero tu abbia sciolto un po' le idee perchè più nel dettaglio di così non so andare
Grazie 
Mi rendo conto sia una questione di lanacaprina ma volevocapire al meglio la questione.
Mi sembra che più o meno confermi le mie idee e ne sono rincuorato.
Comunque si diciamo che volevo capire (riprendndo la numerazione che avevo dato all'inizio):
1) dimostro che ogni elemento di $W∩W^+$ è di fatto lo $0$ (quindi come dici tu mi sembrava di star proprio definendo $W∩W^+$ come ${0}$) => $W∩W^+={0}$ da cui ${0}⊆W∩W^+$
di contro, invece:
2) era un po' l'opposto mostravo $W∩W^+⊆{0}$ e che ${0}⊆W∩W^+$ (questa seconda inclusione ovvia) => $W∩W^+={0}$
Diciamo che volevo capire questo e come dicevo mi pare che hai proprio confermato
Mi rendo conto sia una questione di lanacaprina ma volevocapire al meglio la questione.
Mi sembra che più o meno confermi le mie idee e ne sono rincuorato.
Comunque si diciamo che volevo capire (riprendndo la numerazione che avevo dato all'inizio):
1) dimostro che ogni elemento di $W∩W^+$ è di fatto lo $0$ (quindi come dici tu mi sembrava di star proprio definendo $W∩W^+$ come ${0}$) => $W∩W^+={0}$ da cui ${0}⊆W∩W^+$
di contro, invece:
2) era un po' l'opposto mostravo $W∩W^+⊆{0}$ e che ${0}⊆W∩W^+$ (questa seconda inclusione ovvia) => $W∩W^+={0}$
Diciamo che volevo capire questo e come dicevo mi pare che hai proprio confermato
Tra l'altro se vale $U sube {0}$ devi avere per forza di cose $U={0}$ oppure $U=O/$
Gli insiemi di un elemento tipo ${0}$ noi all'università li chiamiamo "singoletti"
figurati
Gli insiemi di un elemento tipo ${0}$ noi all'università li chiamiamo "singoletti"
figurati
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