Dimostrazione iniettività applicazione lineare

[bagig1]

Salve,

mi trovo con un dubbbio su una dimostrazione semplice:
"se $ker(f)={\vec0}$ allora se ${v_1,...,v_k}$ è libero allora anche ${f(v_1),...,f(v_k)}$ è libero."

proof:

sfrutto la linearità per hp: $f(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k)=0_W => lambda_1v_1+...+lambda_kv_k in ker(f)$ (ma per hp2: $ker(f)={0_v}$)$=>lambda_1v_1+...+lambda_kv_k=0_v$ (ma ${v_1,...,v_k}$ è libero )$=> lambda_1=...=lambda_k=0$

quindi ${f(v_1),..., f(v_k)}$ è libero.

in questi casi ho sempre pensato in modo compatto che stessi mostrando una catena di implicazioni: =>..=>..=>..=>. chiamiamola "visione (*)"

ma solo ora mi accorgo di un dubbio che volevo provare a eliminare chiedendo a qualcuno del forum, in realtà forse sto dicendo che:

"visione (**)"
[$f(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k)=0_W => lambda_1v_1+...+lambda_kv_k in ker(f)$]∧[$(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k in ker(f)$ (+ il fatto che $ ker(f)={0}$)$=>lambda_1v_1+...+lambda_kv_k=0_v$ ] implica che
$f(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k)=0_W =>lambda_1v_1+...+lambda_kv_k=0_v$

quindi:

$f(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k)=0_W =>lambda_1v_1+...+lambda_kv_k=0_v$

a questo punto:

[$f(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k)=0_W =>lambda_1v_1+...+lambda_kv_k=0_v$]∧[$lambda_1v_1+...+lambda_kv_k=0_v$ (+ il fatto che ${v_1,...,v_k}$ è libero )$=> lambda_1=...=lambda_k=0$]

e quindi:

$f(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k)=0_W =>lambda_1=...=lambda_k=0$
ecc.. (tanto si è capito )

Vorrei quindi capire se il modo corretto di vedere la dimostrazione sia (**) e non (*) come ho sempre pensato finora. Ho avuto una illuminazione solo oggi!

[apatriarca]

Non mi è sinceramente chiara la differenza tra le due, forse perché le leggo dal cellulare. Ho tuttavia l'impressione manchi il passaggio dalla funzione di una combinazione lineare alla combinazione lineare di immagini della funzione per la linearità per legare la condizione dal dominio al condominio. Tutto quello che hai scritto funziona in effetti anche per funzioni non lineari ma non dice nulla su f(v1), ..., f(vk)

[bagig1]

Forse non ho usato l'esempio più furbo per esprimere la mia domanda, è solo che mi era sorto studiando questa dimostrazione.

In realtà più che la dimostrazione in sé volevo chiarire l'utilizzo della implicazione =>, in quanto nei due casi (*) e (**) è diverso.

In (*) dicevo A=>B=>C=>D cvd
mentre in (**) ho: (A=>B)e(B=>C)=>(A=>C) e poi iterando: (A=>C)e(C=>D)=>(A=>D) cvd

Componendo le tabelle di verità si nota che (*) (A=>B=>C=>D)=>(A=>D) non porta a tautologia mentre (**) sì. Per questo motivo mi sembra che sia corretto (**) e non (*) come interpretazione.
Mentre finora ho sempre interpretato come (*) questo tipo di dimostrazioni.

Ho tuttavia l'impressione manchi il passaggio dalla funzione di una combinazione lineare alla combinazione lineare di immagini della funzione per la linearità per legare la condizione dal dominio al condominio. Tutto quello che hai scritto funziona in effetti anche per funzioni non lineari ma non dice nulla su f(v1), ..., f(vk)

Nascondiamo sotto il tappeto questo, per ora. Poi torniamo dopo aver risolto l'altra domanda più basic.

[apatriarca]

La seconda è più corretta della prima anche se credo che l'effettiva struttura logica della dimostrazione sarebbe anche più complicata. Le proposizioni di una dimostrazione non sono legate da una catena di implicazioni, ma piuttosto vengono dedotte a partire dalle proposizioni precedenti seguendo determinate regole di inferenza.

[bagig1]

Grazie ancora, attendevo con ansia una risposta perché ero molto curioso

però diciamo che a livello base $[(A=>B)∧(B=>C)]=>(A=>C)$ e poi iterando: $[(A=>C)∧(C=>D)]=>(A=>D)$ è almeno formalmente più corretta di dire $A=>B=>C=>D$, che di fatto non funzionerebbe nemmeno come tavole.

Se ho ben compreso a livello basilare potrei accontentarmi di ciò?

[apatriarca]

Non sono un esperto di logica matematica, in effetti la mia conoscenza è abbastanza limitata. Quando si tratta di dedurre una nuova proposizione a partire da proposizioni precedenti si fa tuttavia uso di una relazione diversa rispetto alla implicazione logica "materiale" che hai usato. In italiano (a quanto pare) si parla di sequente, ma ho anche trovato la dicitura di implicazione logica "semantica". Usando questo connettivo hai quindi qualcosa come \(A \vdash B \vdash C \equiv A \vdash C\). L'idea di questo connettivo è che non ti interessa \(B\) quando \(A\) è falsa. Sai solo che quando \(A\) è vera deve essere vera anche \(B\). Non hai quindi la tavola delle verità come nel caso della implicazione che hai studiato. Se vuoi maggiori informazioni ti consiglio tuttavia di cercare libri o guide di logica matematica sui sistemi formali o sperare che qualcuno di più esperto veda questo tuo post (o puoi chiedere consiglio nella sezione di logica). Non sono infatti in grado di aiutarti più di tanto.

[matos1]

Per quanto può valere, dal basso della mia conoscenza, avevo proprio avuto una discussione di recente con il gentilissimo @ViciousGoblin su una domanda (curiosamente) molto simile che mi stavo ponendo.
Siccome è stato così gentile da aiutarmi, provo a mia volta ad aiutare...

Generalmente si sfrutta (citando) "una proprietà transitiva dell'implicazione e cioè che da P⇒Q e Q⇒R segue P⇒R che volendo si traduce con ((P⇒Q)∧(Q⇒R))⇒(P⇒R)"

Se può esserti utile.

Poi sì, come dice apatriarca c'è una distinzione anche tra implicazione logica e materiale, ma non mi addentro in cose che non so