Dimostrazione su sistemi lineari non chiara
bungiorno, ho un dubbio su una dimostrazione e volevo provare a capirci di più.
si vuole dimostrare che moltiplicando una riga non nulla per un termine non nullo ottendo un sistema equivalente.
Siano A e B il sistema originario e quello con una riga moltiplicata per il valore non nullo.
la dimostrazione mostra la veridicità delle due implicazioni seguenti:
- assume una n-upla solunzione del sistema A e mostra che => è soluzione anche di B
- poi assume la medesima n-upla soluzione di B e mostra che => è soluzione anche di A
conclude dicendo quindi che vale il se e solo se e quindi "la nupla soluzione di A<=> soluzione di B"
questo vuol dire che i sistemi sono equivalenti.
Io mi incasino su questo punto, provo a spiegarmi:
- la prima implicazione del teorema garantisce che se $(x_0,y_0)$ è soluzione di A =>$ (x_0,y_0)$ è soluzione di B.
oss: ma B potrebbe anche avere anche una soluzione $(x_1,y_1)$ che potrebbe non esserlo per A
- a questo punto dimostro che $(x_0,y_0)$ è soluzione di B => $(x_0,y_0)$ è soluzione di A, bene. Tuttavia:
per il thm se anche $(x_1,y_1)$ è soluzione di B => $(x_1,y_1)$ è soluzione di A
oss: ma questo non vuol dire che A potrebbe avere anche una terza soluzione $(x_2,y_2)$ diversa dalle precedenti che magari non lo è per B.
Insomma iterando questo infinite volte non mi sembra che il teorema mostri che sicuramente i due sistemi hanno medesime soluzioni, perché non finisce mai questo discorso.
La mia idea è che dovrei anche porre una "limitazione", ad esempio introducendo un discorso del genere:
assumiamo che A abbia sole n soluzioni S:={$(x_0,y_0)$,$(x_1,y_1)$,...,$(x_n,y_n)$} dal teorema so che se sono soluzioni per A lo sono anche per B.
D'altra parte sono anche le uniche per B perché se B avesse una (n+1)-esima soluzione si avrebbe che $(x_(n+1),y_(n+1))$ => lo sarebbero per A (per la seconda implicazione dimostrata), ma questo è un assurdo avendo assunto $(x_(n+1),y_(n+1))∉S$
Ma è giusto quello che sto dicendo? non riesco a capirlo. A me sembra ragionevole perché è l'unico modo per dimostrare che sono le stesse senza cadere nel loop che riprotavo. Spero qualche anima pia possa aiutarmi
si vuole dimostrare che moltiplicando una riga non nulla per un termine non nullo ottendo un sistema equivalente.
Siano A e B il sistema originario e quello con una riga moltiplicata per il valore non nullo.
la dimostrazione mostra la veridicità delle due implicazioni seguenti:
- assume una n-upla solunzione del sistema A e mostra che => è soluzione anche di B
- poi assume la medesima n-upla soluzione di B e mostra che => è soluzione anche di A
conclude dicendo quindi che vale il se e solo se e quindi "la nupla soluzione di A<=> soluzione di B"
questo vuol dire che i sistemi sono equivalenti.
Io mi incasino su questo punto, provo a spiegarmi:
- la prima implicazione del teorema garantisce che se $(x_0,y_0)$ è soluzione di A =>$ (x_0,y_0)$ è soluzione di B.
oss: ma B potrebbe anche avere anche una soluzione $(x_1,y_1)$ che potrebbe non esserlo per A
- a questo punto dimostro che $(x_0,y_0)$ è soluzione di B => $(x_0,y_0)$ è soluzione di A, bene. Tuttavia:
per il thm se anche $(x_1,y_1)$ è soluzione di B => $(x_1,y_1)$ è soluzione di A
oss: ma questo non vuol dire che A potrebbe avere anche una terza soluzione $(x_2,y_2)$ diversa dalle precedenti che magari non lo è per B.
Insomma iterando questo infinite volte non mi sembra che il teorema mostri che sicuramente i due sistemi hanno medesime soluzioni, perché non finisce mai questo discorso.
La mia idea è che dovrei anche porre una "limitazione", ad esempio introducendo un discorso del genere:
assumiamo che A abbia sole n soluzioni S:={$(x_0,y_0)$,$(x_1,y_1)$,...,$(x_n,y_n)$} dal teorema so che se sono soluzioni per A lo sono anche per B.
D'altra parte sono anche le uniche per B perché se B avesse una (n+1)-esima soluzione si avrebbe che $(x_(n+1),y_(n+1))$ => lo sarebbero per A (per la seconda implicazione dimostrata), ma questo è un assurdo avendo assunto $(x_(n+1),y_(n+1))∉S$
Ma è giusto quello che sto dicendo? non riesco a capirlo. A me sembra ragionevole perché è l'unico modo per dimostrare che sono le stesse senza cadere nel loop che riprotavo. Spero qualche anima pia possa aiutarmi
Risposte
Prova a guardare qua ed in particolare la sezione "Theorem EOPSS: Equation Operations Preserve Solution Sets"
Ti ringrazio, in effetti la doppia inclusione per l'insieme di soluzioni era una idea che mi era venuta per aggirare il problema che dicevo nel primo mio post.
Tuttavia in realtà nella dimostrazione a me mostrata quel dubbio rimane. Cioè vorrei capire come aggirare la parte doce dicevo "che mi incasino"
E mi chiedevo se potesse funzionare la mia idea di soluzione del problema. Fermo restando che il tuo link l'ho capito, vorrei però capire anche la mia via.
Tuttavia in realtà nella dimostrazione a me mostrata quel dubbio rimane. Cioè vorrei capire come aggirare la parte doce dicevo "che mi incasino"
E mi chiedevo se potesse funzionare la mia idea di soluzione del problema. Fermo restando che il tuo link l'ho capito, vorrei però capire anche la mia via.
"serafinon":
Io mi incasino su questo punto, provo a spiegarmi:
- la prima implicazione del teorema garantisce che se $(x_0,y_0)$ è soluzione di A =>$ (x_0,y_0)$ è soluzione di B.
oss: ma B potrebbe anche avere anche una soluzione $(x_1,y_1)$ che potrebbe non esserlo per A
- a questo punto dimostro che $(x_0,y_0)$ è soluzione di B => $(x_0,y_0)$ è soluzione di A, bene. Tuttavia:
per il thm se anche $(x_1,y_1)$ è soluzione di B => $(x_1,y_1)$ è soluzione di A
oss: ma questo non vuol dire che A potrebbe avere anche una terza soluzione $(x_2,y_2)$ diversa dalle precedenti che magari non lo è per B.
Insomma iterando questo infinite volte non mi sembra che il teorema mostri che sicuramente i due sistemi hanno medesime soluzioni, perché non finisce mai questo discorso.
Secondo me, se ho ben capito il tuo discorso, stai commettendo l'errore logico di pensare che quando dimostri una implicazione per una soluzione $x_0$, $y_0$, la stai dimostrando solo per una specifica soluzione, come se la stessi dimostrando per specifici numeri es . che è soluzione ($10, 3)$.
Invece non è così, $x_0$ e $y_0$ stanno per numeri generici, quasiasi, e quindi la dimostrazione è valida per qualunque soluzione numerica specifica, qualsiasi soluzione numerica metti al posto di $x_0$ e $y_0$ . Quindi dimostri in un solo colpo le implicazioni per tutte le possibili soluzioni numeriche.
Dimostrata una sola volta la doppia implicazione hai finito.
Come dici tu è ovvio che vai a finire in una dimostrazione infinita, è come se volessi fare la dimostrazione a uno a uno per ogni soluzione numerica specifica.
Anche a me sembra che il tuo errore sia quello ... IMHO
Ok messa così forse mi torna di più, nel senso che di fatto è logicamente la stessa cosa del teorema mostrato da axpgn.
Andando in modo poco formale, per afferrare l'intuizione.
Assumo tutte le soluzioni di A (mettiamo n) e so per la prima implicazione che sono anche n soluzioni di B.
Se ora anche B avesse più soluzioni (siano m) di A (cioè m>n), assumo nella seconda implicazione tutte le soluzioni m di B, e l'implicazione ci dice che tali sono anche tutte soluzioni di A automaticamente, quindi non possono essere di più in quanto se ne avessi di più supererei quelle che avevo preso inizialmente per A.
Però (le m soluzioni di B) non possono nemmeno essere di meno in quanto erano pari o superiori a quelle di A (dalla prima implicazione). Insomma, sono uguali.
mi sembra di capire che più o meno il concetto sia questo, corretto?
Andando in modo poco formale, per afferrare l'intuizione.
Assumo tutte le soluzioni di A (mettiamo n) e so per la prima implicazione che sono anche n soluzioni di B.
Se ora anche B avesse più soluzioni (siano m) di A (cioè m>n), assumo nella seconda implicazione tutte le soluzioni m di B, e l'implicazione ci dice che tali sono anche tutte soluzioni di A automaticamente, quindi non possono essere di più in quanto se ne avessi di più supererei quelle che avevo preso inizialmente per A.
Però (le m soluzioni di B) non possono nemmeno essere di meno in quanto erano pari o superiori a quelle di A (dalla prima implicazione). Insomma, sono uguali.
mi sembra di capire che più o meno il concetto sia questo, corretto?
... mmmm ... non vorrei sbagliarmi ma non mi pare proprio così ... la dimostrazione che ho linkato (e mi pare anche quella da cui parti tu) si basano su un metodo molto importante ovvero che per dimostrare l'uguaglianza di due insiemi di dimostra che ciascun dei due è un sottoinsieme dell'altro (e una volta dimostrato questo ne consegue non solo che sono uguali ma anche quello che mi pare vorresti dire tu).
Scusa il discorso contorto
Scusa il discorso contorto
@ serafinon Se esporlo così ti rende le cose più chiare, va bene, puoi anche dirtelo così, non vedo ragionamenti non corretti, stai mettendo l'accento sul numero di soluzioni, che sono ovviamente nello stesso numero per $A$ e $B$: è una conseguenza ovvia della doppia implicazione "se una cosa è soluzione di $A$ è anche soluzione di $B$ e viceversa."
Però fai attenzione, doppia implicazione ( o equivalenza) vuol dire quello che ho scritto in grassetto, non riguarda il numero di soluzioni.
Poi ognuno si racconta le cose in modo personale, come è più facile visualizzarle.
Nel dimostrare una doppia implicazione (equivalenza logica) uno vuole dimostrare che due cose sono equivalenti, ad esempio vuoi dimostrare che zuppa e pan bagnato sono la stessa cosa (i logici mi perdonino, è per dare una idea intuitiva).
Quindi dimostri che zuppa $\rArr$ pan bagnato (una zuppa è pan bagnato)
e viceversa poi dimostri che pan bagnato $\rArr$ zuppa (un pan bagnato è una zuppa).
Se metti al posto di zuppa e pan bagnato soluzioni del sistema A e soluzioni del sistema B hai il tuo teorema.
Credo che ora qualche logico mi meni . Se hai tempo dai uno sguardo a cosa significa implicazione e equivalenza in logica, sono cose basilari da conoscere appena possibile.
Però fai attenzione, doppia implicazione ( o equivalenza) vuol dire quello che ho scritto in grassetto, non riguarda il numero di soluzioni.
Poi ognuno si racconta le cose in modo personale, come è più facile visualizzarle.
Nel dimostrare una doppia implicazione (equivalenza logica) uno vuole dimostrare che due cose sono equivalenti, ad esempio vuoi dimostrare che zuppa e pan bagnato sono la stessa cosa (i logici mi perdonino, è per dare una idea intuitiva).
Quindi dimostri che zuppa $\rArr$ pan bagnato (una zuppa è pan bagnato)
e viceversa poi dimostri che pan bagnato $\rArr$ zuppa (un pan bagnato è una zuppa).
Se metti al posto di zuppa e pan bagnato soluzioni del sistema A e soluzioni del sistema B hai il tuo teorema.
Credo che ora qualche logico mi meni
. Se hai tempo dai uno sguardo a cosa significa implicazione e equivalenza in logica, sono cose basilari da conoscere appena possibile.
Quanto segue era risposta ad axpgn 
.
Sì, certo, mi è noto.
diciamo A contenuto in B se per ogni $x inA=>x inB$
di solito dimostro $x inA=>x inB$ and $x inB=>x inA$ ossia $A⊆B$ and $B⊆A$ che equivale a $A=B$.
Detto ciò, come dicevo in realtà quello che volevo capire era un po' l'intuizione -ma sia chiaro nulla di molto formale- e di fatto mi sembrava più o meno corretta. Io simostro che tutti gli elementi di A stanno in B, in B potrebbero essercene di più, tuttavia se dimostro che anche tutti gli elementi di B implica che stanno in A sono a cavallo poiché sicuramente (come dicevo sopra) non posso avere più elementi in B, ma nemmeno di meno, quindi sono uguali.
.Sì, certo, mi è noto.
diciamo A contenuto in B se per ogni $x inA=>x inB$
di solito dimostro $x inA=>x inB$ and $x inB=>x inA$ ossia $A⊆B$ and $B⊆A$ che equivale a $A=B$.
Detto ciò, come dicevo in realtà quello che volevo capire era un po' l'intuizione -ma sia chiaro nulla di molto formale- e di fatto mi sembrava più o meno corretta. Io simostro che tutti gli elementi di A stanno in B, in B potrebbero essercene di più, tuttavia se dimostro che anche tutti gli elementi di B implica che stanno in A sono a cavallo poiché sicuramente (come dicevo sopra) non posso avere più elementi in B, ma nemmeno di meno, quindi sono uguali.
Ok c'e stato un conflitto di edizioni, ora leggo anche te @gabriella grazie!
Edito: si mi pare chiaro quanto dici, ti ringrazio ancora. Diciamo che volevo solo cercare di vedere le cose in m olti modi per "allenarmi". Però come dicevi tu volevo porre l'accento sul fatto che considerando "tutte" le soluzioni con la mia doppia implicazione potevo giungere a dire quanto nel messaggio precedente ai vostri ultimi interventi.
Però mi sembra che avvalli bene o male la logica utilizzata, ripeto: molto spannometrica.
grazie!Edito: si mi pare chiaro quanto dici, ti ringrazio ancora. Diciamo che volevo solo cercare di vedere le cose in m olti modi per "allenarmi". Però come dicevi tu volevo porre l'accento sul fatto che considerando "tutte" le soluzioni con la mia doppia implicazione potevo giungere a dire quanto nel messaggio precedente ai vostri ultimi interventi.
Però mi sembra che avvalli bene o male la logica utilizzata, ripeto: molto spannometrica.
Sostanzialmente, io e gabriella abbiamo detto la stessa cosa
Però mi pareva di capire che non convdividessi la mia elucubrazione, mentre gabriella sì. Quindi ora sono indeciso
Quello che non mi torna (e neppure a gabriella) è che ti sei fissato sul numero di soluzioni, che ha un suo perché, ma quello che volevamo dirti io e gabriella è che per dimostrare l'equivalenza devi "solamente" dimostrare le due implicazioni (va bene in qualsiasi modo tu lo faccia).
È "ovvio" che dopo aver stabilito un'equivalenza (o un teorema o quel che è ...) vengano generate delle "conseguenze" (per esempio che se due insiemi "finiti" sono uguali allora hanno lo stesso numero di elementi)
È "ovvio" che dopo aver stabilito un'equivalenza (o un teorema o quel che è ...) vengano generate delle "conseguenze" (per esempio che se due insiemi "finiti" sono uguali allora hanno lo stesso numero di elementi)
@serafino Io e axpgn stiamo mettendo l'accento su cose diverse, lui sul lato logico-insiemistico, io su quello più logico -intuitivo.
La tua elucubrazione non la trovo sbagliata perché il ragionamento mi sembra corretto, e va bene se ti aiuta a capire, ma non è una formulazione corretta o rigorosa del problema, è un ragionamento, giusto, sul numero di soluzioni.
Non lo andrei a dire all'esame, , e eviterei anche all'esame di parlare di zuppa e pan bagnato
Vedo che ci accavalliamo, sottoscrivo quanto detto sopra da axpgn.
La tua elucubrazione non la trovo sbagliata perché il ragionamento mi sembra corretto, e va bene se ti aiuta a capire, ma non è una formulazione corretta o rigorosa del problema, è un ragionamento, giusto, sul numero di soluzioni.
Non lo andrei a dire all'esame,
, e eviterei anche all'esame di parlare di zuppa e pan bagnato Vedo che ci accavalliamo, sottoscrivo quanto detto sopra da axpgn.
Grazie mille per il chiarimento. Certo, ora ora ho capito le "due" posizioni.
Poi si, come dici tu (gabriella) ovviamente non lo vado a dire in giro
, era solo per capire una intuizione. Formalemente, poi, ovviamente procedo come detto.
però ora, forse perché sono ancora agli inizi, compio un po' l'errore di usare molto l'intuzione e capisco che dovrei slegarmene. Spero di miglioarare!
In ogni caso grazie e buona giornata a voi!
Poi si, come dici tu (gabriella) ovviamente non lo vado a dire in giro
, era solo per capire una intuizione. Formalemente, poi, ovviamente procedo come detto.però ora, forse perché sono ancora agli inizi, compio un po' l'errore di usare molto l'intuzione e capisco che dovrei slegarmene. Spero di miglioarare!
In ogni caso grazie e buona giornata a voi!
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