Continuità topologica e chiusura

[ProPatria]

Ciao a tutti,

Si dimostri che f è continua topologicamente se e solo se per ogni
$S sube X$ si ha $f(bar(S)) sube bar(f(S))$

Sto provando ad usare, invece che la definizione di continuità topologica (controimmagine di aperto è aperta), la definizione equivalente per i chiusi (controimmagine di chiuso è chiusa)...

Per l'implicazione "<=" mi manca solo da dimostrare che l'immagine di f è chiusa in Y e avrei risolto.

Per favore datemi una mano, ci sto perdendo la testa da due giorni con questa stron**** di esercizio e non riesco a venirne a capo

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Diciamo che $f:X to Y$. Prendi un chiuso $C$ di $Y$ e chiama $S$ la preimmagine di $C$. Devi mostrare che $S$ è chiuso in $X$, cioè che $S$ coincide con la sua chiusura. Ora prova ad usare l'ipotesi.

[ProPatria]

"Martino":Diciamo che $f:X to Y$. Prendi un chiuso $C$ di $Y$ e chiama $S$ la preimmagine di $C$. Devi mostrare che $S$ è chiuso in $X$, cioè che $S$ coincide con la sua chiusura. Ora prova ad usare l'ipotesi.

Giusto, sia $f:X to Y$.
Quindi vogliamo dimostrare che f sia continua assumendo che, per ogni $ S sube X $, si ha $ f(bar(S)) sube bar(f(S)) $.
è come hai detto tu, voglio mostrare che $S$ è chiuso in $X$, ma l'ipotesi "lavora" su sottoinsiemi di $Y$ e non sul dominio $X$, come posso fare allora?

Mi spiego meglio: voglio mostrare che $S$ sia uguale alla sua chiusura (mi immagino di trovarmi davanti una cosa tipo $bar(S) sube S$) ma come faccio se $S$ è un sottoinsieme di $X$? l'ipotesi dice $ f(bar(S)) sube bar(f(S)) $, cioè indica una relazione tra sottoinsiemi di $Y$...

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Ti dicevo di prendere un chiuso $C$ di $Y$ e definire $S$ come la preimmagine di $C$ in $X$. Ovviamente $f(S)$ è contenuto in $C$ e quindi anche $bar(f(S))$ è contenuto in $C$ (perché $C$ è chiuso).

Ma allora

$f(bar(S)) subseteq bar(f(S)) subseteq C$

e quindi $f(bar(S)) subseteq C$. Questo si può formulare dicendo che $bar(S)$ è contenuto nella preimmagine di $C$. Ma la preimmagine di $C$ è proprio $S$. Quindi $bar(S) subseteq S$.

[ProPatria]

"Martino":Ti dicevo di prendere un chiuso $C$ di $Y$ e definire $S$ come la preimmagine di $C$ in $X$. Ovviamente $f(S)$ è contenuto in $C$ e quindi anche $bar(f(S))$ è contenuto in $C$ (perché $C$ è chiuso).

Ma allora

$f(bar(S)) subseteq bar(f(S)) subseteq C$

e quindi $f(bar(S)) subseteq C$. Questo si può formulare dicendo che $bar(S)$ è contenuto nella preimmagine di $C$. Ma la preimmagine di $C$ è proprio $S$. Quindi $bar(S) subseteq S$.

Finalmente ci sono... Praticamente la tecnica è fargli "il panino"
Grazie mille! ora provo con l'altro verso, per qualsiasi dubbio scrivo qui

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Il panino? mai sentita questa

[ProPatria]

"Martino":Il panino? mai sentita questa

l'ho appena inventata, a dire la verità era riferito a questo:

$f(S) sube f(bar(S)) sube bar(f(S))$

e quindi poichè $f(S)=C$ e $bar(f(S))=bar(C)=C$
allora $f(bar(S))=C$ e da qui $bar(S)=S$.

Non era proprio riferito a quello che hai scritto tu ma bensì a questo che ho immaginato, il panino rende l'idea credo

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Occhio, non è vero che $f(S)=C$. Non è questo che ho detto. Per esempio se prendi $C=Y$ dire $f(S)=C$ è equivalente a dire che $f(X)=Y$ cioè che $f$ è suriettiva, e questo è falso in generale.

[ProPatria]

"Martino":Occhio, non è vero che $f(S)=C$. Non è questo che ho detto. Per esempio se prendi $C=Y$ dire $f(S)=C$ è equivalente a dire che $f(X)=Y$ cioè che $f$ è suriettiva, e questo è falso in generale.

Chiaro... l'immagine della preimmagine non è in generale l'insieme di partenza.
Però la preimmagine dell'immagine è l'insieme di partenza, ed infatti lo usiamo nel passaggio:
$f(bar(S)) sube C rArr bar(S) sube f^(-1)(C)=S$.
Penso di aver capito e ti ringrazio tanto. Domani provo anche l'altro verso... niente paura, lo scrivo qui non verrò liquidato tanto facilmente

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"ProPatria":Però la preimmagine dell'immagine è l'insieme di partenza

Anche questo è falso, per esempio se hai una funzione costante $f:X to Y$ allora $f^(leftarrow)(f(U))=X$ per ogni sottoinsieme non vuoto $U$ di $X$.

Quello che puoi dire è che

$f(f^(leftarrow)(f(U)))=f(U)$

$f^(leftarrow)(f(f^(leftarrow)(V)))=f^(leftarrow)(V)$

per ogni $U subseteq X$, $V subseteq Y$.

[ProPatria]

"Martino":[quote="ProPatria"]Però la preimmagine dell'immagine è l'insieme di partenza

Anche questo è falso, per esempio se hai una funzione costante $f:X to Y$ allora $f^(leftarrow)(f(U))=X$ per ogni sottoinsieme non vuoto $U$ di $X$.

Quello che puoi dire è che

$f(f^(leftarrow)(f(U)))=f(U)$

$f^(leftarrow)(f(f^(leftarrow)(V)))=f^(leftarrow)(V)$

per ogni $U subseteq X$, $V subseteq Y$.[/quote]

Non ne azzecco una! quindi l'ultimo passaggio della tua dimostrazione esplicitato sarebbe:
$ f(bar(S)) sube C rArr bar(S) sube f^(leftarrow)(f(bar(S))) sube f^(leftarrow)(C)=S $

infatti non vale l'uguaglianza ma vale comunque il contenimento $U sube f^(leftarrow)(f(U))$.

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Sì esatto.

[ProPatria]

Riguardo invece il viceversa provo a farlo:
Sia $f:XrarrY$, $S sube X$ qualsiasi, $f$ continua.

Noto che:
$bar(f(S)) supe f(f^(larr)(bar(f(S))))$

e, poichè $bar(f(S))$ è chiuso, allora $f^(larr)(bar(f(S)))$ è chiuso.
Allora vale:
$f^(larr)(bar(f(S))) supe bar(S)$
infatti $f^(larr)(bar(f(S)))$ contiene $S$ ed è chiuso.

per concludere:
$ bar(f(S)) supe f(f^(larr)(bar(f(S)))) supe f(bar(S)) $.

è valida come dimostrazione?

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Sì

[ProPatria]

grazie mille!