Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Si provi che $\mathbb{P}^n(RR)$ è una compattificazione di $RR^n$.
Diamo la definizione di compattificazione:
Abbiamo che $\mathbb{P}^n(RR)$ è compatto, consideriamo la funzione $h:RR^n->\mathbb{P}^n(RR)$ definita come $h(x_0,...,x_n)=[x_0: ...: x_n:1]$, si ha che $h$ è un immersione. Vediamo cosa è $h(RR^n)$: sia $(x_0,...,x_(n+1))$ con $x_(n+1)!=0$, allora $(x_0,...,x_(n+1))=x_(n+1)*(x_0/x_(n+1),...,x_n/x_(n+1),1)$, per cui $[x_0: ...: x_(n+1)]=[x_0/x_(n+1): ...: x_n/x_(n+1):1]inh(RR^n)$. Quindi gli elementi di $\mathbb{P}^n(RR)$ che non stanno in ...
Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici e sia $f: X->Y$ una funzione continua. Si consideri il suo grafico $\Gamma_f= {(x, f(x)) | x ∈ X}subeX × Y$ . Si doti $XxxY$ della topologia prodotto e si doti $\Gamma_f$ della topologia di sottospazio di $XxxY$. Si provi che $\Gamma_f$ è omeomorfo a $X$.
Abbiamo che la funzione $(Id_X,f):X->\Gamma_f$ definita come $(Id_X,f)(x)=(x,f(x))$ e la restrizione della proiezione su $X$ su ...
Se $f:[0, 1]->[0,+infty)$ è una funzione continua tale che $f(1)=0$, allora si provi che esiste $tin[0,1]$ tale che $f(t)=t$.
Volevo dimostrarlo in modo topologico però più semplicemente mi è venuto da fare cosi: supponiamo per assurdo che $f(t)<t$ $AAtin[0,1]$ (questo perchè $f(1)=0$ e quindi se $EEtin[0,1]$ tale che $f(t)>=t$ per il teorema degli zeri avrei la tesi), ma allora $f(0)<0$ , che è assurdo poichè il codominio di ...
Volevo chiedere una mano dopo un esercizio per cui ho avuto aiuto da un utente del forum. In particolare ho questo esercizio molto simile a mio avviso ma vorrei vedere se si puo risolvere in modo differente:
In R$^4$ scrivere le equazioni di due iperpiani vettoriali diversi, ma entrambi supplementari della retta vettoriale $H = Span((2, 0, 4, 3))$
Ricordando la definizione di supplementari per il mio prof. ossia dovrei trovare due sottospazi $W_1$ e $W_2$ di ...
Sia $X$ è uno spazio metrico completo e sia $K$ un sottoinsieme chiuso e limitato di $X$. E' vero che $K$ deve essere compatto?
No è falso, consideriamo $X$ un insieme infinito è usiamo la metrica discreta. Ci sono due modi per mostrarlo:
1) la topologia indotta dalla metrica discreta è quella discreta quindi su ogni sottoinsieme infinito di $X$ la topologia di sottospazio è discreta e quindi non può essere ...
Sia V spazio vettoriale finitamente generato su k e W$sube$V sottospazio vett.
Se $EE W_1,…,W_n sube V$ t.c. W é somma diretta di $W_1,…,W_n => dim(W)=\sum_(i=1)^n dim(W_i)$
So che la dimostrazione si fa per induzione su n.
L’aspettò che voglio chiarire è che la proposizione induttiva sarebbe: P(n)=“$EE W_1,…,W_n sube V$ t.c. W é somma diretta di $W_1,…,W_n => dim(W)=\sum_(i=1)^n dim(W_i)$” oppure sarebbe P(k)=“$dim(W_1+…+W_k)=\sum_(i=1)^k dim(W_i)$”, per $ 1<=k<=n$?
Salve, vorrei porre una domanda davvero rapida nel senso non molto calcolotica riguardo un esercizio semplice che stavo svolgendo sulle forme quadratiche.
io ho la Q forma quadratica $Q:RR^3->RR$ e $Q(x)=6x_1x_3+3x_2^2$, ci sono varie dispense da svolgere su questa forma tra le quali trovare la forma canonica e trovare la matrice P diagonalizzante.
Ho trovato la matrice rappresentativa: $((0,0,3),(0,3,0),(3,0,0))$
Ora, io ho trovato gli autospazi degli autovalori 3 e -3 di rispettiva molteplicità ...
Sialve,
approdo qui per cercare un aiuto su un esercizio che è il seguente (in realtà è solo una delle tante richieste dell'esercizio originale) ma qui vorrei chiedere un aiuto.
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Ho W2 = L (e, f, g)
dove
e = (−1, 1, 5, 4), f = (0, 3, −2, 1), g = (2, 7, −16, −5).
8. Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W3 di R4 tale che
W2 ⊕ W3 = ...
Consideriamo la funzione $f : CC^**->CC$ data da $f(\rhoe^(i\theta)) = log(\rho)+itheta$ per ogni $\rhoin(0, +infty)$ e $\thetain[0, 2pi)$, è continua?
Allora sapevo che non fosse continua perchè c'è un salto da $0$ a $2pi$ per quanto riguarda l'asse reale negativo si ha una salto di $2pi$ per quanto riguarda la parte immaginaria di $f(\rhoe^(i\theta)) $, ma non ho ben capito come mai e come dimostrarlo (possibilmente topologicamente). Qualcuno mi sa dire?
Si dimostri che non esiste alcuna funzione continua $f:S^1->RR$ tale che $(cosf(z),sinf(z))=z$ per ogni $zinS1$.
Consideriamo la funzione $p:RR->S^1$ data da $p(t) = (cost,sint)$, supponiamo per assurdo che una tale $f$ esista, allora si ha che $p\circf=Id_{S^1}$. Consideriamo $C$ la categoria degli spazi topologici puntati e $D$ la categoria dei gruppi. Abbiamo che $f$ e $p$ sono due morfismi in ...
Si provi che $RR^2\\{0}$ è omeomorfo a $S^1xxRR$. Io pensato che basta mostrare che $S^1$ è omeomorfo a $RR\\{0}$ trovata la funzione $f$ che rende li rende omeomorfi ho che la funzione $g:S^1xxRR->RR^2\\{0}$ con $g(P,y)=(f(P),y)$ è omeomorfismo (dove $P$ è un punto su $S^1$). Ora $f$ l'ho identificata attraverso questo disegno:
Però come faccio a trovare esplicitamente $f$? E ...
Sia $FinCC[x_1,..., x_n]$ un polinomio a coefficienti complessi in $n$ indeterminate. Allora la funzione $CC^n->CC$ definita da $(z_1,..., z_n)-> F(z_1,..., z_n)$ è continua.
Diamo per vero (senza dimostrarlo) che preso $GinRR[x_1,..., x_n]$ un polinomio a coefficienti reali in $n$ indeterminate, la funzione $RR^n->RR$ definita da $(x_1,..., x_n)->G(x_1,..., x_n)$ è continua.
Dato che $F$ e ha coefficienti complessi e ce lo andiamo a calcolare sui numeri complessi (che sono ...
E' vero che ogni sottoinsieme compatto di $RR$ è unione finita di intervalli chiusi e limitati?
Falso, ad esempio $(uu_{ninNN}{1/n})uu{0}$ è un compatto di $RR$ ma si scrive come unione infinita di intervalli chiusi e limitati (ovvero ${1/n}$ e poi ${0}$)
Ciao, ho un esercizio che mi sta facendo uscire pazzo per quanto stupido sia non mi viene
Dati i vettori $u = (1, 1, 0)$, $v = (0, 1, 1)$, determinare i vettori x tali che la loro
proiezione ortogonale sul piano vettoriale individuato da u e v sia il vettore 3u + 4v
Riporto inoltre il mio svolgimento perché vorrei capire cosa non vada bene:
Ho pensato di proiettare $x*u_n=3$ questo perché usando il prdotto scalare e indicando con $u_n$ il ...
Quali delle seguenti famiglie di sottoinsiemi di $RR$ sono una base o una prebase della topologia euclidea di $RR$?
(1) ${(x_0-epsilon, x_0+epsilon) | epsilonin(0, +infty)}$ con $x_0inRR$ fissato
(2) ${(x-epsilon_0, x+epsilon_0) | x inRR}$ con $epsilon_0in(0, +infty)$ fissato
(3) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, +infty)}$
(4) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)}$
(5) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(6) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inQQ, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(7) ${(x-1/n,x+1/n)|x inRR,ninNN^+}$
(8) ${(x-r_n, x + r_n) | x inRR, ninNN}$ dove $(r_n)$ è una successione di numeri reali positivi tali che $i nf_n$ $r_n = 0$
(9) ...
$QQnn[0, 1]$ è compatto?
No, infatti dato che $QQ$ è denso in $RR$ allora $QQnn[0,1]$ è denso in $[0,1]$, per cui $QQnn[0,1]$ non è chiuso in $[0,1]$ (altrimenti $QQnn[0,1]$ non sarebbe denso in $[0,1]$) e quindi $QQnn[0,1]$ non è chiuso in $RR$ (perchè se lo fosse sarebbe chiuso anche in $[0,1]$, assurdo). Ma allora $QQnn[0,1]$ non è compatto poichè i compatti di ...
Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici e sia ${X_i}_{iinI}$ un ricoprimento di $X$. Per ogni $iinI$ sia data una funzione $f_i: X_i->Y$. Se per ogni coppia di indici $i, jinI$ vale $f_{i_{|_{X_i nnX_j} }} = f_{j_{|_{X_i nnX_j} }}$ allora esiste una funzione $f:X->Y$ tale che per ogni $iinI$ $f_{|_{X_i} }= f_i$.
Definiamo la corrispondenza fra insiemi $f:X->Y$ tale che per ogni $iinI$ $f_{|_{X_i} }= f_i$, mostriamo che è ...
Supponiamo che per ogni punto $x_0inX$, esiste un sistema fondamentale \( \displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) di intorni di $f(x_0)$ in $Y$ tale che per ogni \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \), $f^-1(V)$ è un intorno di $x_0$ in $X$. Allora $f$ è continua, cioè per ogni aperto $BsubeY$ vale che $f^-1(B)$ è aperto in $X$.
Io ho fatto così:
Sia ...
Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo di spazi topologici e sia $AsubeX$ un sottoinsieme. Si provi che $g_{|_A}:A ->f(A)$ è un omeomorfismo, dove ovviamente su $A$ consideriamo la topologia di sottospazio di $X$ e su $f(A)$ consideriamo la topologia di sottospazio di $Y$.
Siccome $f$ è iniettiva allora $f_{|_A}:A ->Y$ è iniettiva per cui $g_{|_A}:A ->f(A)$, definita come $f_{|_A}$, è una biezione. Sia ...
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