Matrice inversa

[mitcho]

Volevo chiedere una cosa riguardo le matrici inverse.
Ho visto una dimostrazione per cui una matrice A se ha inversa sinistra ha inversa destra (però la dimostrazione sfrutta il fatto che il rango sia massimo).

Mi chiedevo quindi, se il rango non fosse massimo non è più vero che la matrice inversa sinistra implica che abbiamo inversa destra? Oppure esiste una generalizzazione di questo anche per matrici che non abbiano rango massimo?

[hydro1]

Stai facendo confusione. Il punto è che se una matrice ha inversa sinistra allora ha rango massimo e allora ha inversa destra. Se non ha rango massimo, allora non ha inversa nè destra nè sinistra.

[mitcho]

In effetti non mi è stato dimostrato "se una matrice ha inversa sinistra (e penso valga anche per destra in modo simmetrico) allora ha rango massimo", come potrei farlo?

Grazie mille per il tuo aiuto.

[hydro1]

Se ha un'inversa sinistra vuol dire che componendola con un'altra applicazione lineare fa l'identità, che è iniettiva. Quando una composizione di funzioni è iniettiva, quella interna è iniettiva. Ma una matrice che rappresenta un'applicazione iniettiva deve avere nucleo banale.

[mitcho]

Grazie

nel mentre avevo pensato a questo ma non so se sia molto valido essendo un risultato autonomo.

Volevo quindi gentilmente chiederti se fosse giusto

Data $A in RR^(n,n)$ assumo $b in RR^n$ (mettiamo esista inversa sx $B$ matrice), assumendo $Ax=b$ (con x vettore colonna opportuno) dato che esiste inversa posso scrivere (moltiplico a sx per B): $x=Bb$ questo ci dice che x è unico e x inoltre esiste: basta sositutire a x il valore Bb per accorgersi che verifica Ax=b.
Il gioco è così concluso:
Quindi => $0=n-rk(A)$ per rouche-capelli (dato che la soluzione è unica e c'è) da cui $rg(A)=n$

Secondo te funziona? Sono un po' dubbio su quell "esiste unico" però mi pare valido come ragionamento.

[j18eos]

Dovresti dimostrare che non esiste un'altra soluzione!

[Il_Gariboldi]

Premetto che mi scuso per l'intrusione nei confronti dell'OP per una seconda volta , tuttavia credo di poter dire la mia riguardo l'ultima risposta perché mi sembra del tutto simile a una discussione avuta con il gentile @Martino fino a ieri in algebra.

@j18eos: sostanzialmente stai dicendo che va dimostrata l'unicità... tuttavia in realtà come visto in questa discussione (che è molto lunga però è davvero utile e del tutto simile) linko alcuni (3) punti salienti:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 5#p8615697
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8617773
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8618037
col passaggio svolto dall'OP a me pare prorpio che l'unicità sia già dimostrata cosi!
Se hai voglia prova a darci un occhio . Non è molto simile? Cosa ne pensi?

[j18eos]

@Il_Gariboldi Avrai pure ragione, ma in questo thread non ci sono altri riferimenti, quindi ho evidenziato una lacuna del presente thread!

[Il_Gariboldi]

Eh ma il fatto che forse non ho spiegato bene è che non mi sembra una lacuna. Proprio perché: se parto da $Ax=b$ e dimostro essere (unicamente) della forma: $x=A^-1b$, beh ho già l'agognata unicità.
Proprio come nell'esempio banale visto nel link: $ax=b$ => unicità: $x=a^-1b$ nella generica equazione.
Unicità ci dice già che "non esiste altra soluzione". No?

[j18eos]

Io pensavo a un calcolo un po' più esplicito: sia \(\displaystyle Ay=b\) con \(\displaystyle A\) invertibile, allora \(\displaystyle Ax=Ay\Rightarrow x=y\) per la regolarità degli elementi invertibili in un monoide (commutativo).

[Il_Gariboldi]

Capisco la tua risposta. Però mi pareva di non aver detto stupidaggini nemmeno io . però non ho capito se condividi quanto ho detto.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"mitcho":Data $A in RR^(n,n)$ assumo $b in RR^n$ (mettiamo esista inversa sx $B$ matrice), assumendo $Ax=b$ (con x vettore colonna opportuno) dato che esiste inversa posso scrivere (moltiplico a sx per B): $x=Bb$ questo ci dice che x è unico e x inoltre esiste: basta sositutire a x il valore Bb per accorgersi che verifica Ax=b.

Sull'unicità sono d'accordo ma non sull'esistenza, dato che sostituendo $x=Bb$ in $Ax$ ottieni $Ax=ABb$ e per dimostrare che questo è uguale a $b$ ti serve dimostrare che $AB=1$ cioè che $B$ è inversa a destra di $A$.

Cioè tu sai che $BA=1$ e per dedurre che $AB=1$ devi argomentare. È un fatto vero ma per dimostrarlo serve usare dell'algebra lineare non banale (le manipolazioni algebriche non bastano).

[mitcho]

E' vero, argomentazione impeccabile. Ho fatto un magheggio che non funziona (proprio come&dove sottolinei).
Grazie mille per avermi corretto, non mi ero accorto della fallacia del mio ragionamento.