Estensione proiettiva di un'applicazione affine.

[EmanueleValentini1]

Salve buongiorno,
Tra poco dovrò affrontare l'esame di geometria, e temo di non aver capito benissimo questo argomento.

Una domanda che mi potrebbe capitare sarà molto simile a questa:

1) data l'applicazione affine θ:R²∃(x,y)->(x-2y+2, 2x-y-1)ER² è indicata sempre con θ la sua estensione proiettiva, quale delle seguenti è[θ]p?

A)
2 -4 4
4 -2 -2

B)
2 -4 4
4 -2 -2
0 0 2

C)
1 -2 2
2 -1 -1

D)
2 -4 4
4 -2 2
0 0 2

Potesse per favore aiutarmi a risolverlo e a capire il meccanismo che c'è dietro?
Grazie in anticipo per l'attenzione

[megas_archon]

Data una applicazione polinomiale \(f \in K[\underline X] = K[X_1,\dots,X_n]\) la sua omogeneizzazione è il polinomio in $n+1$ indeterminate \(f^\eta \in K[X_0,X_1,\dots,X_n]\) definito come \(f^\eta(X_0,\dots,X_n):= X_0^{\deg f}\cdot f(X_1/X_0,\dots,X_n/X_0)\).

Questa costruzione si estende al caso di mappe polinomiali \(\underline f : K^n \to K^m\) nel modo ovvio: \(\underline f^\eta := (f_1^\eta,\dots, f_m^\eta,1)\) (ti serve una coordinata in più).

Nota incidentalmente che \((\_)^\eta\) è iniettiva, rispetta la moltiplicazione, e ha per inversa sinistra la mappa di disomogeneizzazione di un polinomio omogeneo $g$ definita come \(g^\delta := g(1,X_1,\dots,X_n)\).

Nel tuo caso specifico, \(f : K^2\to K^2\) è definita da \((x,y)\mapsto \left(\begin{smallmatrix} x-2y+2 \\ 2x-y-1\end{smallmatrix}\right)\) e da qui è ovvio cosa fare.

Un modo più geometrico di ragionare è argomentare che il gruppo delle affinità di uno spazio affine $A$ risulta dal prodotto semidiretto \(V(A)\rtimes GL(V(A))\), dove $V=V(A)$ è lo spazio vettoriale sottostante allo spazio affine. Dunque ogni affinità si rappresenta come una matrice a blocchi della forma \(\left(\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
v & M
\end{smallmatrix}\right)
\) dove $v$ è un vettore di traslazione, e \(M\in GL(V)\). Nel tuo caso specifico, l'applicazione è già praticamente scritta in quella forma (lo è sempre, non appena sai determinare le sue componenti...)

[EmanueleValentini1]

Obbiettivamente non ho capito granché, non sono riuscito ad interpretare quello che hai scritto di conseguenza non so cosa devo fare in realtà.
Grazie comunque per l'impegno e la professionalità

[megas_archon]

"EmanueleValentini":Obbiettivamente non ho capito granché, non sono riuscito ad interpretare quello che hai scritto

non preoccuparti, non sei l'unico.