Sottoinsieme delle matrici diagonalizzabili $M_2(CC)$
Sia $M^2(CC)$ l’insieme delle matrici $2xx2$ a coefficienti complessi, con la topologia data dalla topologia euclidea tramite la funzione $M^2(CC)->CC^4$ che ad una matrice associa i suoi coefficienti. Determinare se il sottoinsieme delle matrici diagonalizzabili sia denso.
Allora siccome siamo a coefficienti complessi o una matrice è diagonalizzabile oppure è jordanizzabile. Sia $A$ una matrice jordanizzabile allora esiste $J=((a,1),(0,a))$ e $EEHinM^2(CC)$ invertibile tale che $A=HJH^-1$. Prendiamo la successione di matrici diagonalizzabili $D_n=((a+1/n,1),(0,a))$ con $ninNN,n>=1$ (sono diagonalizzabili poichè hanno due autovalori diversi). Si ha che per $n->+infty$ vale $D_n->J$ per cui posto $A_n=HD_nH^-1$ ($A_n$ sono diagonalizzabili poichè simili a una matrice diagonale) si ha che per $n->+infty$ vale $A_n->A$ e quindi il sottoinsieme delle matrici diagonalizzabili è denso.
Può andar bene?
Allora siccome siamo a coefficienti complessi o una matrice è diagonalizzabile oppure è jordanizzabile. Sia $A$ una matrice jordanizzabile allora esiste $J=((a,1),(0,a))$ e $EEHinM^2(CC)$ invertibile tale che $A=HJH^-1$. Prendiamo la successione di matrici diagonalizzabili $D_n=((a+1/n,1),(0,a))$ con $ninNN,n>=1$ (sono diagonalizzabili poichè hanno due autovalori diversi). Si ha che per $n->+infty$ vale $D_n->J$ per cui posto $A_n=HD_nH^-1$ ($A_n$ sono diagonalizzabili poichè simili a una matrice diagonale) si ha che per $n->+infty$ vale $A_n->A$ e quindi il sottoinsieme delle matrici diagonalizzabili è denso.
Può andar bene?
Risposte
Avevo già letto qualche giorno fa: mi sembra tutto corretto!
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