Epimorfismo in TopT2
Sia (TopT2) la categoria i cui oggetti sono gli spazi topologici T2 e le cui frecce sono le funzioni continue. Si
provi che se $f : X-> Y$ è una freccia in (TopT2) tale che $f(X)$ è denso in $Y$ , allora $f$ è un epimorfismo in (TopT2).
Affinchè $f$ sia epimorfismo mi basta mostrare che preso $ZinOb((TopT2))$ e $g_1,g_2:Y->Z$ si ha che $g_1(x)=g_2(x)$ $AAx inY\\f(X)$. Ho provato a fare per assurdo lavorando con gli aperti e cercando di mostrare che ci fosse un aperto che era tutto contenuto in $Y\\f(X)$ così da arrivare a un assurdo poichè $f(X)$ è denso ma non so se sia la strada giusta e come fare. Qualcuno mi sa dire, grazie.
provi che se $f : X-> Y$ è una freccia in (TopT2) tale che $f(X)$ è denso in $Y$ , allora $f$ è un epimorfismo in (TopT2).
Affinchè $f$ sia epimorfismo mi basta mostrare che preso $ZinOb((TopT2))$ e $g_1,g_2:Y->Z$ si ha che $g_1(x)=g_2(x)$ $AAx inY\\f(X)$. Ho provato a fare per assurdo lavorando con gli aperti e cercando di mostrare che ci fosse un aperto che era tutto contenuto in $Y\\f(X)$ così da arrivare a un assurdo poichè $f(X)$ è denso ma non so se sia la strada giusta e come fare. Qualcuno mi sa dire, grazie.
Risposte
Ah, era ora che iniziassi a fare le domande nel linguaggio giusto, madonna. Che effetto fa diventare grandi?
In uno spazio di Hausdorff punti distinti hanno intorni disgiunti; supponi di essere in questa situazione:
\[X \xrightarrow{f} Y \underset{v}{\overset{u}\rightrightarrows} Z\] e supponi che \(u\neq v\): allora esiste almeno un $y$ tale che $uy\ne vy$, cioè esistono due aperti \(U_y,V_y\subseteq Z\) disgiunti, uno che contiene $uy$, l'altro che contiene $vy$. Del resto ora \(y\in u^\leftarrow(U_y)\cap v^\leftarrow(V_y)\), che è aperto, perciò deve intersecare \(fX\), che è denso...
Finisci tu.
La parte difficile da dimostrare, tra parentesi, è il viceversa: un epimorfismo in \(\sf Haus\) ha immagine densa.
In uno spazio di Hausdorff punti distinti hanno intorni disgiunti; supponi di essere in questa situazione:
\[X \xrightarrow{f} Y \underset{v}{\overset{u}\rightrightarrows} Z\] e supponi che \(u\neq v\): allora esiste almeno un $y$ tale che $uy\ne vy$, cioè esistono due aperti \(U_y,V_y\subseteq Z\) disgiunti, uno che contiene $uy$, l'altro che contiene $vy$. Del resto ora \(y\in u^\leftarrow(U_y)\cap v^\leftarrow(V_y)\), che è aperto, perciò deve intersecare \(fX\), che è denso...
Finisci tu.
La parte difficile da dimostrare, tra parentesi, è il viceversa: un epimorfismo in \(\sf Haus\) ha immagine densa.
"megas_archon":
In uno spazio di Hausdorff punti distinti hanno intorni disgiunti; supponi di essere in questa situazione:
\[X \xrightarrow{f} Y \underset{v}{\overset{u}\rightrightarrows} Z\] e supponi che \(u\neq v\): allora esiste almeno un $y$ tale che $uy\ne vy$, cioè esistono due aperti \(U_y,V_y\subseteq Z\) disgiunti, uno che contiene $uy$, l'altro che contiene $vy$. Del resto ora \(y\in u^\leftarrow(U_y)\cap v^\leftarrow(V_y)\), che è aperto, perciò deve intersecare \(fX\), che è denso...
$EEy'inf(X)nnu^-1(U_y)nnv^-1(V_y)$ tale che $u(y')=v(y')$ (questo perchè $y'inf(X)$ e quindi esiste un $x inX$ tale che $y'=f(x)$ e stiamo supponendo che $(u\circf)(x)=(v\circf)(x)$ per ogni $x inX$), ma allora $u(y')inU_ynnV_y$ (poichè $y'inu^-1(U_y)$ per cui $u(y')inU_y$ e $y'inv^-1(V_y)$ per cui $v(y')inV_y$) assurdo poichè $U_y$ e $V_y$ sono disgiunti.
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