Geometria e Algebra Lineare

Supponiamo che per ogni punto $x_0inX$, esiste un sistema fondamentale \( \displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) di intorni di $f(x_0)$ in $Y$ tale che per ogni \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \), $f^-1(V)$ è un intorno di $x_0$ in $X$. Allora $f$ è continua, cioè per ogni aperto $BsubeY$ vale che $f^-1(B)$ è aperto in $X$. Io ho fatto così: Sia ...

Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo di spazi topologici e sia $AsubeX$ un sottoinsieme. Si provi che $g_{|_A}:A ->f(A)$ è un omeomorfismo, dove ovviamente su $A$ consideriamo la topologia di sottospazio di $X$ e su $f(A)$ consideriamo la topologia di sottospazio di $Y$. Siccome $f$ è iniettiva allora $f_{|_A}:A ->Y$ è iniettiva per cui $g_{|_A}:A ->f(A)$, definita come $f_{|_A}$, è una biezione. Sia ...

Sia $YsubeX$ un sottoinsieme, si supponga che ${X_i}_{iinI}$ sia un ricoprimento chiuso localmente finito di $X$. Allora se per ogni $iinI$ l’insieme $YnnX_i$ è chiuso in $X_i$ si ha che $Y$ è chiuso in $X$. Mostrare con un controesempio che se ${X_i}_{iinI}$ è solo un ricoprimento chiuso di $X$, allora non è vera la tesi. Iniziamo dalla dimostrazione, siccome per ogni $iinI$ si ...

Sia $f:X->Y$ una funzione continua, iniettiva, aperta o chiusa tra spazi topologici. Si provi che $f$ è un immersione, cioè la topologia di $X$ coincide con la topologia indotta da $Y$ tramite $f$. Io non ho capito più che altro cosa intende quando devo mostrare che "la topologia di $X$ coincide con la topologia indotta da $Y$ tramite $f$", devo far vedere che presa $\tau$ la ...

1)Esiste una topologia $\tau$ su $RR$ tale che lo spazio topologico $(RR,\tau )$ è compatto e T2? 2)Esiste una topologia $\tau$ su $ZZ$ tale che lo spazio topologico $(ZZ,\tau)$ è compatto e T2? Sia $f:X->Y$ una funzione e sia $\tau_Y$ una topologia su $Y$ e definiamo il pullback di $\tau_Y$ come $f^**\tau_Y={f^-1(B)|Bin\tau_Y}$. Consideriamo ora invece $\tau_X$ una topologia su $X$ e ...

Aiuto! Non riesco a risolvere questo problema: Per ogni x ∈ R sia A(X)= 1 2 x x x 1 2 1 2 (a) Determinare l’insieme T degli x per i quali la funzione EG `e definita in A(x). (b) Per ogni x ∈ R discutere l’esistenza di fattorizzazioni LR di A(x).

Sto cercando di capire la definizione di cono ma non sono sicuro di aver capito benissimo. Il professore ha definito S cono l'insieme che rispetta x∈S => Span(x)∈S Quindi assumo l'insieme di punti di un certo V spazio e lo chiamo S, questo insieme S è un cono se è tale che se x appartiene a questo insieme S anche ax∈S con a∈R qualunque (cioè lo span). Questo mi sembra essere giusto. Qui viene il mio dubbio scemotto: mi chiedo se posso anche definire così: S:={x∈V|x∈S => x∈Span(x)}, cioè per ...

Sia $X$ uno spazio topologico, sia $x_0inX$ e sia $f:X-> RR$ una funzione continua. Si provino le seguenti affermazioni. (1) Se $f(x_0) > 0$, allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ in $X$ tale che per ogni $x inU$ vale $f(x) > 0$. (2) Se $x_0$ non è un punto isolato in $X$ ed esiste un intorno $U$ di $x_0$ in $X$ tale che per ogni ...

Sia $X$ un insieme e sia $SsubeP(X)$ un insieme di sottoinsiemi di $X$. Si provi che esiste un’unica topologia su $X$ che è la meno fine tra quelle che contengono $S$. L'ho spiegata così: consideriamo $\tau_SsubeP(X)$ che contiene $S$ e il numero minimale di sottoinsiemi di $X$ affinchè $\tau_S$ sia una topologia su $X$, per cui ogni altra topologia che contiene ...

Determinare tutti i punti doppi della quartica le cui equazioni parametriche razionali sono X = 2t/(t² - 1), Y = [(t + 1)²]/t². Ho provato a calcolare le derivate prime di X e di Y e ho visto che non si annullano, ma la parametrizzazione non è regolare e quindi la curva potrebbe presentare un nodo, che non riesco a trovare. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Volevo chiedere un chiarimento su due punti teorici però mostrati dal mio professore solo con due esercizi e vorrei generalizzarli. Il fatto è il seguente: - se $W<=V => ((W)^⊥)^⊥=W$ normalmente, però se φ ha nucleo => è degenere e non è più vero che $((W)^⊥)^⊥=W$. Ma perché dipenda dall'essere degenere (questo non funzioanre più della formula detta) non ho capito. - $W⊕W^⊥=W$ (con $W<=V$), e anche qui non è vero per le forme φ con vettori isotropi. Cioè se ho isotropi: ...

Buon sabato sera! Mi sto sollazzando con la costruzione delle equazioni delle figure geometriche partendo dalle loro definizioni. Ho un problema con l’iperbole. La definizione è: il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Quindi, volendo costituire l’equazione a partire dalla definizione si ha: Dato un generico punto P(x,y) Dati i due fuochi F1($x_f1$,$y_f1$) ed ...

Ciao, ho un dubbio sulle forme bilineari di cui sto studiando la teoria. So che una forma bilineare è definita positiva se $phi(x,x)>=0$ e $=0 <=>x=0$ (ci sono poi quelle definite negavite indefinte ecc che non sto ad elencare ora) Tuttavia c'è un fatto che non capisco benissimo ed è il seguente: assumiamo una base di V che indico al solito: $B_V={v_1,...,v_n}$ con la proprietà che $phi(v_i,v_j)=0 <=> i!=j$ e $phi(v_i,v_j)=0 <=> i=j$. Finora non potrei concludere nulla sulla sua definitezza, infatti ...

Buonasera. Sia data una matrice $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ normale e $P\in\mathbb{C}^{n\times p}$ una matrice con colonne ortonormali (occhio che $P$ può essere rettangolare). Se $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sono gli autovalori di $A$ allora gli autovalori di $P^{\ast} AP$ sono combinazioni convesse di $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, o in simboli se $\beta$ è radice di det$(P^{\ast}AP-xI)$ allora $\beta\in$Hull$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. E' evidente che se $P$ è quadrata la tesi è ...

Ciao, avrei un esercizio che mi ha fatto porre delle domande sui temi di "diagonalizzazione" e "teorema spettrale". L'esercizio è il seguente: Date $A=((1,0,0),(1,-1,0),(2,3,2))$ e $B((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2))$ determinare se: 1- esiste P invertibile tale che $P^-1AP=B$, e se esiste trovarla 2- stiste K ortogonale tale che $K^-1AK=B$ e trovarla se esiste. I miei dubbi sono i seguenti: 1- io so che A è diagonalizzabile se e solo se esiste la matrice P' tale che renda vera la relazione di similitudine ...

Thm: Sia X uno spazio numerabilmente compatto e paracompatto allora X è compatto. Salve a tutti, non riesco a dimostrare questo teorema. Per numerabilmente compatto intendo che per ogni sottoricoprimento numerabile di X esiste un sottoricoprimento finito di X.

C'e una affermazione di cui non sono sicuro di aver capito se ho trovato una buona dimostrazione: $lambda=0$ autovalore di $f$ $<=> ker(f)!={0}$

Sono dati $n+1$ nodi $0<=x_0<x_1<....<x_n<pi$ e corrsipondeti valori $y_0,...,y_n$. Mostrare che esiste un unico "polinomio coseno" $C(x)=\sum_{j=1}^na_jcos(jx)$ tale che $C(x_j)=y_j$ con $j=0,...,n$. Allora io avevo pensato di fare così: imponiamo le condizioni su $x_j$: $a_1cos(x_0)+...+a_ncos(nx_0)=y_0$ . . . $a_1cos(x_n)+...+a_ncos(nx_n)=y_n$ da cui otteniamo: $((cos(x_0),...,cos(nx_0)),(.,,.),(.,,.),(.,,.),(cos(x_n),...,cos(nx_n)))((a_1),(.),(.),(.),(a_n))=((y_0),(.),(.),(.),(y_n))$ Chiamiamo $C$ la matrice $(n+1)xxn$, poi $a$ il vettore di dimensione ...

Ciao, durante lo studio mi sono accorto che mi è sorto un dubbio del quale però non so come dare una risposta valida. O meglio ci ho provato ma non sono sicuro sia corretta. L'idea intuitiva che vorrei portare è la seguente, mettiamo di essere nello spazio $V_3$ euclideo classico, per intenderci quello per cui tutti abbiamo una concezione semplice e quasi innata (dalle scuole superiori) di freccette coapplicate nell'origine e che puntano nello spazio. Quello che noto è il seguente ...

Ciao, c'è un esercizio che non riesco a capire perché non mi torni. Ho la mia bella applicazione lineare: $f: RR^3 -> RR^3$, $f(x_1,x_2,x_3)=(x_2-x_3, x_1+x_2, x_1-x_3)$ e assumiamo il sottospazio $Z={(y_1, y_2, y_3)| 2y_1-3y_2+y_3=0}$. Si chiede di trovare $f^-1(Z)$ SOL: Primo metodo $f^-1(Z)={vecx in RR^3|f(vecx)in Z}$ Allora ho pensato che equivale a dire: $f^-1(Z)={vecx in RR^3|∃vecyinZ|f(vecx)=vecy}$ Ora, cosa vuol dire $∃vecyinZ$? Beh dalla definizione di Z (vuol dire) che sono vettori di R3 del tipo: $(y_1, y_2, -2y_1+3y_2)$ e gli $f^-1(Z)$ saranno quelle x per ...