Applicazione Lineare da $ R^3 $ in $ V in R^4 $
Buongiorno!
Ho trovato questo esercizio di esame che inizialmente avrei definito "semplice", ma che non riesco a capire del tutto.
Sia $V$ spazio vettoriale reale di dimensione 4 e sia ${b_1, b_2, b_3, b_4}$ una sua base.
Siano $u := b_1 − b_2 + b_3 − b_4$ , $v := b_1 + b_2$ e $U := Span{u, v}$.
Esiste un’applicazione lineare $L : R^3 → V$ tale che $Im(L) = U$?
Per dimostrare l'esistenza dell'applicazione ho inizialmente provato a ragionare utilizzando la matrice associata, avendo $u$ e $v$ solo tramite i coefficienti della base di $V$.
Quindi, posso mostrare l'esistenza di una matrice associata, da $E$ Base canonica a $B$ base di $V$, che manda ogni vettore di $R^3$ in $U$, mi basta scriverla come \(\left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & a+b \\
-1 & 1 & -a+b \\ 1 & 0 & a \\ -1 & 0 & -a \end{smallmatrix}\right)\) ?
In cui la terza colonna è l'immagine del terzo vettore della base canonica che voglio mandare in una qualsiasi combinazione lineare dei primi due, molto probabilmente sto ragionando male e sto complicando tutto, che ne pensate? Grazie
Ho trovato questo esercizio di esame che inizialmente avrei definito "semplice", ma che non riesco a capire del tutto.
Sia $V$ spazio vettoriale reale di dimensione 4 e sia ${b_1, b_2, b_3, b_4}$ una sua base.
Siano $u := b_1 − b_2 + b_3 − b_4$ , $v := b_1 + b_2$ e $U := Span{u, v}$.
Esiste un’applicazione lineare $L : R^3 → V$ tale che $Im(L) = U$?
Per dimostrare l'esistenza dell'applicazione ho inizialmente provato a ragionare utilizzando la matrice associata, avendo $u$ e $v$ solo tramite i coefficienti della base di $V$.
Quindi, posso mostrare l'esistenza di una matrice associata, da $E$ Base canonica a $B$ base di $V$, che manda ogni vettore di $R^3$ in $U$, mi basta scriverla come \(\left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & a+b \\
-1 & 1 & -a+b \\ 1 & 0 & a \\ -1 & 0 & -a \end{smallmatrix}\right)\) ?
In cui la terza colonna è l'immagine del terzo vettore della base canonica che voglio mandare in una qualsiasi combinazione lineare dei primi due, molto probabilmente sto ragionando male e sto complicando tutto, che ne pensate? Grazie
Risposte
Il ragionamento è corretto.
Grazie mille! Temevo fosse troppo vago
Ricorda sempre che un'applicazione lineare è completamente determinata dalle immagini che scegli di dare ad una base in partenza.
Dato che tu cerchi una applicazione lineare $f: \RR^3 \to V$, come base di partenza ti scegli -giustamente- la base canonica $e_1, e_2, e_3$ di $\RR^3$.
Dato che vuoi che $Im(f) = Span(u,v)$, sicuramente puoi definire $f$ mandando $f(e_1) = u$ e $f(e_2) = v$; poi, dato che non vuoi altri vettori nell'immagine, e manca solo da scegliere dove mandare $f(e_3)$, sicuramente ha senso mandare $f(e_3)$ in una combo dei primi 2 oppure, più velocemente, $f(e_3) = 0$, ovvero mandi $e_3$ in $Ker(f)$.
Dato che tu cerchi una applicazione lineare $f: \RR^3 \to V$, come base di partenza ti scegli -giustamente- la base canonica $e_1, e_2, e_3$ di $\RR^3$.
Dato che vuoi che $Im(f) = Span(u,v)$, sicuramente puoi definire $f$ mandando $f(e_1) = u$ e $f(e_2) = v$; poi, dato che non vuoi altri vettori nell'immagine, e manca solo da scegliere dove mandare $f(e_3)$, sicuramente ha senso mandare $f(e_3)$ in una combo dei primi 2 oppure, più velocemente, $f(e_3) = 0$, ovvero mandi $e_3$ in $Ker(f)$.
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