Parabola e traslazione
Buongiorno,
vorrei chiedervi un aiuto riguardo la parabola, so che posso ottenere l'equazione sfruttando questo metodo:
Tuttavia per semplificare i conti ho provato a ottenere l'equazione procedendo così:
Assumo l'origine a metà della distanza tra la retta e il fuoco, in tal modo il vertice cade sull'asse x e la parabola è perfettamente simmetrica rsipetto ad y.
Assumo: $2k=d(F,r)$ e $F=(k,0)$, la direttrice avra equazione: $y=-k$
Detto ciò parto dalla solita definzione: $d(P,F)=d(P,r)$ con r la retta y=-k.
Quindi con il mio riferimento: $sqrt(x^2+(y-k)^2)=|y+k|$ (quadro) => $y=x^2/(4k)$.
Il mio dubbio sorge con la mia ultima, a questo punto mi sono detto per riottenere l'equazione generale devo semplicemente traslare, assumo cioè $y=y'+y_F$ e $x=x'+x_F$ ma è evidente che sostituendo:
$y'+y=(x'+x_F)^2/(4k)$ non troverò mai la mia equazione della figura (equazione finale postata).
E che non funzioni è ovvio infatti dalla equazione nell'immagine otterrei questa imponendo $y_F=k$ ecc, ma non viceversa.
Quindi la mia domanda è perché ciò non funziona? Idealmente ritraslando dovrei proprio ottenere quella equazione.
Proprio come nella circonferenza se io la ottengo dalla definizione con riferimento centrato nell'origine: $x^2+y^2=r^2$ andando a sostituire le coordinate traslate trovo proprio l'equazione generale $x^2+t^2+alphax+betay+gamma=0$, che otterrei sviluppando nel punto già traslato, cioè con riferimento non nell'origine. mentre per la parabola non funziona e questo mi crea problemi perché dovrebbe tornare
Grazie dell'aiuto.
vorrei chiedervi un aiuto riguardo la parabola, so che posso ottenere l'equazione sfruttando questo metodo:
Tuttavia per semplificare i conti ho provato a ottenere l'equazione procedendo così:
Assumo l'origine a metà della distanza tra la retta e il fuoco, in tal modo il vertice cade sull'asse x e la parabola è perfettamente simmetrica rsipetto ad y.
Assumo: $2k=d(F,r)$ e $F=(k,0)$, la direttrice avra equazione: $y=-k$
Detto ciò parto dalla solita definzione: $d(P,F)=d(P,r)$ con r la retta y=-k.
Quindi con il mio riferimento: $sqrt(x^2+(y-k)^2)=|y+k|$ (quadro) => $y=x^2/(4k)$.
Il mio dubbio sorge con la mia ultima, a questo punto mi sono detto per riottenere l'equazione generale devo semplicemente traslare, assumo cioè $y=y'+y_F$ e $x=x'+x_F$ ma è evidente che sostituendo:
$y'+y=(x'+x_F)^2/(4k)$ non troverò mai la mia equazione della figura (equazione finale postata).
E che non funzioni è ovvio infatti dalla equazione nell'immagine otterrei questa imponendo $y_F=k$ ecc, ma non viceversa.
Quindi la mia domanda è perché ciò non funziona? Idealmente ritraslando dovrei proprio ottenere quella equazione.
Proprio come nella circonferenza se io la ottengo dalla definizione con riferimento centrato nell'origine: $x^2+y^2=r^2$ andando a sostituire le coordinate traslate trovo proprio l'equazione generale $x^2+t^2+alphax+betay+gamma=0$, che otterrei sviluppando nel punto già traslato, cioè con riferimento non nell'origine. mentre per la parabola non funziona e questo mi crea problemi perché dovrebbe tornare
Grazie dell'aiuto.
Risposte
Tu vorresti ottenere $y = ax^2+bx+c$, giusto ?
E non e' la stessa cosa ?
Tu hai $ y'+y_F=(x'+x_F)^2/(4k) $
che si puo' riscrivere come
$y' = 1/(4k)(x')^2 + (2x_F)/(4k) x' + x_F^2/(4k) - y_F$
quindi
$a = 1/4k$,
$b = (2x_F)/(4k)$,
$c = x_F^2/(4k) - y_F$
Cosa c'e' che non va ?
E non e' la stessa cosa ?
Tu hai $ y'+y_F=(x'+x_F)^2/(4k) $
che si puo' riscrivere come
$y' = 1/(4k)(x')^2 + (2x_F)/(4k) x' + x_F^2/(4k) - y_F$
quindi
$a = 1/4k$,
$b = (2x_F)/(4k)$,
$c = x_F^2/(4k) - y_F$
Cosa c'e' che non va ?
Ciao 
e grazie!
Quello che non va è che se voglio trovare un generico caso con $F=(x_F,y_F)$ e quindi traslando lì non mi sembra di ottenere (si veda foto):
$y=1/(2(y_f-k))x^2-x_F/(y_f-k)x+(x_f^2+y_F^2-k^2)/(2(y_f-k))$
cioè non trovo gli stessi valori dei parametri mi pare. La forma è quella che dici tu, ma io mi aspetterei proprio gli stessi parametri no?
e grazie!Quello che non va è che se voglio trovare un generico caso con $F=(x_F,y_F)$ e quindi traslando lì non mi sembra di ottenere (si veda foto):
$y=1/(2(y_f-k))x^2-x_F/(y_f-k)x+(x_f^2+y_F^2-k^2)/(2(y_f-k))$
cioè non trovo gli stessi valori dei parametri mi pare. La forma è quella che dici tu, ma io mi aspetterei proprio gli stessi parametri no?
"cantbury":
La forma è quella che dici tu, ma io mi aspetterei proprio gli stessi parametri no?
Ok, ho capito.
Il problema e' che tu trasli il fuoco, ma anche la direttrice, invece la direttrice dovrebbe rimanere in $y=-k$.
Quello che devi fare e' un riscalamento e una traslazione delle ordinate. Ovvero devi applicare una trasformazione:
$y' = py+q$.
$p$ e $q$ li trovi risolvendo questo sistemino:
${ ( y_F = pk +q ),( -k = p(-k)+q ):}$
cioe' il fuoco in verticale si sposta da $k$ a $y_F$ e la direttrice rimane in $-k$.
Per la $x$ va bene $x' = px+x_F$
Anche la $x$ va riscalata con la stessa $p$ in modo da non distorcere le distanze, siccome la parabola e' definita dalle distanze.
Stanotte mi ero rifatto un po' di calcoli e mi pare di aver individuato in effetti il problema in quello che dici sulla direttrice.
Ad esempio ponendola a y=-c e traslando l'origine del s.d.r che ha la parabola a metà nel punto ad esempio $(x_F,y_F)$, cosi che nel sostema di riferimento non centrato (diciamo così) la direttrice sia a un valore di Y=k
A questo p unto la scrittura ad esempio di $2(y_F-k)$ (a denominatore della mia ultima formula scritta nel precedente post) sostituendo i valori è solo apparentemente diversa dalla forma che hai messo tu perché diventerebbe proprio $2(2c)=4c$ sostituendo.
Insomma: vengono si parametri diversi, ma basta sostituirli coerentemente con il disegno della traslazione per ottenere la forma da te scritta (la tua però con al posto dei k il valore c che è la posizione della direttrice nel s.d.r. comodo centrato).
Mi pare giusto ora no? Non so se ho egregiamente spiegato la soluzione al mio problema ma forse un disegno sarebbe molto più comodo
Ad esempio ponendola a y=-c e traslando l'origine del s.d.r che ha la parabola a metà nel punto ad esempio $(x_F,y_F)$, cosi che nel sostema di riferimento non centrato (diciamo così) la direttrice sia a un valore di Y=k
A questo p unto la scrittura ad esempio di $2(y_F-k)$ (a denominatore della mia ultima formula scritta nel precedente post) sostituendo i valori è solo apparentemente diversa dalla forma che hai messo tu perché diventerebbe proprio $2(2c)=4c$ sostituendo.
Insomma: vengono si parametri diversi, ma basta sostituirli coerentemente con il disegno della traslazione per ottenere la forma da te scritta (la tua però con al posto dei k il valore c che è la posizione della direttrice nel s.d.r. comodo centrato).
Mi pare giusto ora no? Non so se ho egregiamente spiegato la soluzione al mio problema ma forse un disegno sarebbe molto più comodo
Ho visto che non hai più avuto modo di rispondere. Spero che non sia perché ho detto enormi scemenze
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