Dato il triangolo autopolare, classificare le coniche

[Whitman1]

Buonasera a tutti. Mi sono imbattuto in questo esercizio:

Sia $mathcal{C}$ l'insieme di tutte le coniche non degeneri del piano proiettivo che hanno il triangolo di vertici $\left[1,0,0\right]$; $\left[0,1,0\right]$; $\left[0,0,1\right]$ come triangolo autopolare.
- Determinare le forme canoniche affini delle coniche di $mathcal{C}$
- Dire, spiegando perché, se $mathcal{C}$ contiene parabole
- Trovare tutte le eventuali coniche di $mathcal{C}$ che intersecano $r_{\infty}$ in $\left[0,1,1\right]$; $\left[0,1,-1\right]$

Come si procede nel risolvere un esercizio del genere?
Ho pensato, di primo acchito, se consideriamo $M$ la matrice che ha per colonne i vertici del triangolo autopolare e $C$ la matrice di una delle coniche di $mathcal{C}$, allora $M^tCM$ sarà della forma $((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c))$ oppure $((0,0,\frac{a}{2}),(0,b,0),(\frac{a}{2},0,0))$ dato che il triangolo autopolare mette la conica in una base ortogonale in senso generalizzato. Da qui dedurre le varie possibilità di coniche canoniche affini; però non mi convince e mi domandavo se ci fosse una maniera più ortodossa (o furba). Grazie!

[spugna2]

Ho pensato a questo: per una conica affine, il centro (se esiste) è il polare della retta all'infinito, quindi nelle coordinate affini $(x/z,y/z)$ si deve avere una conica che ha come centro l'origine, e quindi un'equazione dove non compaiono termini di primo grado. In coordinate omogenee viene un'equazione dove non compaiono $xz$ e $yz$, ma ripetendo il ragionamento con un altro lato del triangolo si vede che non può esserci neanche $xy$, quindi le coniche cercate dovrebbero essere quelle di equazione $ax^2+by^2+cz^2=0$.