Inclusione di insiemi con chiusura

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Il prof ha lasciato alcune dimostrazioni per esercizio.

Dato V spazio normato, A,B $ sube $ V , definiamo la somma di due insiemi

$ A+B={x+y:x\inA,y\inB} $

Dimostrare che $ bar(A+B) \sube bar(A) + \bar(B) $ .
Vedere se vale il viceversa nel caso A,B siano convessi

Io ho tentato di fare così

$ x \in \bar(A+B) \Rightarrow EE \delta>0 : B(x,\delta)nn (A+B) \ne 0 $

Arrivata qui avevo pensato di prendere un punto in questa intersezione e
scrivere x come somma di due elementi rispettivamente di A e di B.
Poi avrei potuto concludere grazie al fatto che ogni insieme è contenuto nella sua chiusura.
Non ci sono riuscita, chi mi aiuta? Grazie

[Studente Anonimo]

Ciao!

Stai cercando di dimostrare una cosa falsa. Per esempio se $A$ e $B$ sono chiusi starebbe dicendo che $A+B$ è chiuso. Ma questo è falso, un esempio che mi viene in mente è $A=ZZ$ e $B=sqrt{2}ZZ={sqrt{2}z\ :\ z in ZZ}$ nello spazio normato $RR$ (qui $ZZ$ è l'insieme dei numeri interi). La somma $A+B$ ha chiusura uguale a $RR$ ma non è uguale a $RR$, per esempio non contiene $1/2$ (al posto di $sqrt{2}$ potevo mettere un qualunque numero irrazionale).

È l'inclusione contraria che devi mostrare. E l'inclusione contraria è molto facile (prova). Probabilmente c'è un errore di stampa nel tuo esercizio. Ce l'hai negli appunti o è stato messo in rete? Nel caso mandaci il testo completo.