Determinare matrice nelle basi canoniche
Sia L: $ mathbb(R^4) -> mathbb(R^3) $ un'applicazione lineare tale che:
L $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 3 ),( 1 ),( 1 ) ) $ , L $ ( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) =( ( 2 ),( -2 ),( 2 ) ) $ , L $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) ) =( ( 4 ),( 2 ),( 1 ) ) $ , L $ ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) =( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Determinare la matrice A rappresentativa della L nelle basi canoniche di $ mathbb(R^4) e mathbb(R^3) $ .
Ho sempre trovato le matrici associate avendo un' equazione relativa ad un'applicazione lineare ma in questo modo non so come procedere, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo.
L $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 3 ),( 1 ),( 1 ) ) $ , L $ ( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) =( ( 2 ),( -2 ),( 2 ) ) $ , L $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) ) =( ( 4 ),( 2 ),( 1 ) ) $ , L $ ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) =( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Determinare la matrice A rappresentativa della L nelle basi canoniche di $ mathbb(R^4) e mathbb(R^3) $ .
Ho sempre trovato le matrici associate avendo un' equazione relativa ad un'applicazione lineare ma in questo modo non so come procedere, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo.
Risposte
Parti dalla definizione di matrice associata.
"Magma":
Parti dalla definizione di matrice associata.
Partendo dalla definizione riesco a determinare solo il secondo vettore cioe': $ L( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) = 2e(2) -> 1/2 L( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) ->1/2( ( 2 ),( -2 ),( 2 ) ) -> ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Questo era semplice, provo ad esempio con il primo.
Non riuscendoli a ricavare ad occhio li scrivo come combinazione dei coefficienti $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) = a( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )+b( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) )+c( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) )+d( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Ottengo a=2,b=0,c=-1,d=0 e di conseguenza ottengo la matrice moltiplicandoli per l'immagine dei vettori, dovrebbe essere corretto.
E' presente un metodo piu' veloce se non li vedo ad occhio oppure devo sempre esprimerli come combinazione?
Se $ mathcalB:={ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) , ( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) ) , ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) }$ è una base di $RR^4$, allora $e_1,e_2,e_3,e_4 in mathcalB$; ovvero esisteranno dei
coefficienti $alpha, beta, gamma, delta in RR$ tali che
il che equivale a un sistema lineare di quattro equazioni nelle incognite $alpha, beta, gamma, delta$:
Per quanto riguarda $e_1$ si può notare che $(2,0,-1,0)$ è soluzione del sistema lineare:
Quindi, applicando la linearità, ottieni:
Ora come proseguiresti per determinare $M_mathcal(E E)(f)$?
coefficienti $alpha, beta, gamma, delta in RR$ tali che
$alpha( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) +beta ( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) +gamma ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) ) +delta ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) )=e_i, qquad AA i=1,2,3,4$
il che equivale a un sistema lineare di quattro equazioni nelle incognite $alpha, beta, gamma, delta$:
$((1,0,1,0),(0,2,0,-1),(0,0,0,1),(1,0,2,0))((alpha),(beta),(gamma),(delta))=e_i, qquad AA i=1,2,3,4$
----------------------------------------------------------------------
Per quanto riguarda $e_1$ si può notare che $(2,0,-1,0)$ è soluzione del sistema lineare:
$ 2* ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) +0 *( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) +(-1)* ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) )+0 * ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) =((1),(0),(0),(0)) $
Quindi, applicando la linearità, ottieni:
$f(e_1)=f[ 2* ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) +0 *( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) +(-1)* ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) )+0 * ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) ]=((2),(0),(1))$
Ora come proseguiresti per determinare $M_mathcal(E E)(f)$?
Alla fine come ho scritto nel messaggio precedente sono riuscito a risolverlo.
Ho ricavato il secondo sostituendo la seconda base canonica e ricavando le incognite a,b,c,d. e moltiplicando le immagini per il valore delle incognite associate.
Cosi' per tutti e due i restanti, alla fine ottengo la matrice associata
$ A=( ( 2 , 1 , 3 , 1 ),( 0 , -1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 2 , 0 ) ) $
Grazie mille per le dritte!
Ho ricavato il secondo sostituendo la seconda base canonica e ricavando le incognite a,b,c,d. e moltiplicando le immagini per il valore delle incognite associate.
Cosi' per tutti e due i restanti, alla fine ottengo la matrice associata
$ A=( ( 2 , 1 , 3 , 1 ),( 0 , -1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 2 , 0 ) ) $
Grazie mille per le dritte!
Beh, si tratta di un sistema semplice da invertire:
\[\begin{cases} \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_2 &= 2\mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 &= -\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_4 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_4 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_4 \end{cases}\]
\[\begin{cases} \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_2 &= 2\mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 &= -\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_4 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_4 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_4 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3 &= \mathbf{e}_1 \\ \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{v}_4 + \frac12\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{v}_3 - \mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_4 \end{cases}\]
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