Dubbio autovalori matrice

[Lebesgue]

Siano \(\displaystyle u=[-1,\alpha,\alpha,...,\alpha]^T \) e $v^T=[0,\alpha,\alpha,...,\alpha]$ due vettori di $\mathbb{R}^n$.
Posto $M=uv^T$ il mio libro dice che la matrice M ha n-1 autovalori nulli e un autovalore pari a $v^Tu=\alpha^2(n-1)$.
Ora io non capisco come fa a trovare questi autovalori, in particolare a dire che l'unico autovalore non nullo è proprio $v^Tu$.
Grazie a chi risponderà

[Otto_Lidenbrock]

Ma non dovrebbe essere $\alpha^2(n-1)$ anziche' $\alpha(n-1)$?

[Lebesgue]

"gmorkk":Ma non dovrebbe essere $\alpha^2(n-1)$ anziche' $\alpha(n-1)$?

Si scusami mi ero scordato del quadrato, però il dubbio rimane lo stesso

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$[(-1),(\alpha),(\alpha),(...),(\alpha),(\alpha)][(0,\alpha,\alpha,...,\alpha,\alpha)][(x_1),(x_2),(x_3),(...),(x_(n-1)),(x_n)]=\alpha(x_2+x_3+...+x_(n-1)+x_n)[(-1),(\alpha),(\alpha),(...),(\alpha),(\alpha)]$

tutti i vettori le cui componenti soddisfano la seguente condizione:

$x_2+x_3+...+x_(n-1)+x_n=0$

sono autovettori relativi all'autovalore $0$. Inoltre, poichè la condizione di cui sopra identifica il complemento ortogonale del vettore:

$[(0),(1),(1),(...),(1),(1)]$

gli autovettori relativi all'autovalore $0$ formano un sottospazio vettoriale di dimensione $n-1$. Infine, proprio il seguente vettore:

$[(-1),(\alpha),(\alpha),(...),(\alpha),(\alpha)]$

è autovettore relativo all'autovalore $\alpha^2(n-1)$:

$[(-1),(\alpha),(\alpha),(...),(\alpha),(\alpha)][(0,\alpha,\alpha,...,\alpha,\alpha)][(-1),(\alpha),(\alpha),(...),(\alpha),(\alpha)]=\alpha^2(n-1)[(-1),(\alpha),(\alpha),(...),(\alpha),(\alpha)]$