Esercizio su basi e sottospazi vettoriali
Buonasera a tutti,
chiedo aiuto nella risoluzione di un esercizio su basi e sottospazi vettoriali. Nello specifico, assegnato il seguente sottospazio vettoriale:
$U = { (x, y, z, t) ∈ R^4: x − 5y = 0, z − 3t = 0 }$
mi viene richiesto di:
- Calcolare una base $B$ e la dimensione del sottospazio $U$;
- Determinare se $exists$ due basi $B_1$ e $B_2$ di $R^4$ contenenti $B$;
- Determinare se $exists$ un sottospazio $W$ supplementare di $U$;
Ho calcolato la base $B$ risolvendo il sistema ${(x = 5y),(z = 3t):}$ con $y = a in R$ e $t = b in R$, ottenendo $B = a(5,1,0,0) + b(0,0,3,1)$. Da ciò è immediato determinare la dimensione, pari alla cardinalità della base, ossia $2$. Non so però come continuare.
chiedo aiuto nella risoluzione di un esercizio su basi e sottospazi vettoriali. Nello specifico, assegnato il seguente sottospazio vettoriale:
$U = { (x, y, z, t) ∈ R^4: x − 5y = 0, z − 3t = 0 }$
mi viene richiesto di:
- Calcolare una base $B$ e la dimensione del sottospazio $U$;
- Determinare se $exists$ due basi $B_1$ e $B_2$ di $R^4$ contenenti $B$;
- Determinare se $exists$ un sottospazio $W$ supplementare di $U$;
Ho calcolato la base $B$ risolvendo il sistema ${(x = 5y),(z = 3t):}$ con $y = a in R$ e $t = b in R$, ottenendo $B = a(5,1,0,0) + b(0,0,3,1)$. Da ciò è immediato determinare la dimensione, pari alla cardinalità della base, ossia $2$. Non so però come continuare.
Risposte
Ciao e benvenuto*!
ho corretto il testo, formattando la parte matematica. Ti invito a consultare il manuale sulle formule
il primo punto è corretto, ho solo una precisazione da fare: la base è un insieme di vettori con una certa proprietà(generare lo spazio, essere linearmente indipendenti), quindi si scrive come
il che significa che $ = U$ e $v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.
passiamo al secondo punto. Determinare una base $B'$ di $RR^4$ che contenga $B$ significa completare la base di $U$ ad una base di $RR^4$, ossia trovare una base di $RR^4$ in cui siano presenti i vettori $v_1,v_2$.
per esempio se in $RR^3$ avessi lo spazio vettoriale che ha per base $B={(1,0,0),(0,1,0)}$ possiamo considerare la base $B'={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ che è una base di $RR^3$ contente la base $B$.
ho corretto il testo, formattando la parte matematica. Ti invito a consultare il manuale sulle formule
il primo punto è corretto, ho solo una precisazione da fare: la base è un insieme di vettori con una certa proprietà(generare lo spazio, essere linearmente indipendenti), quindi si scrive come
$B={(5,1,0,0),(0,0,3,1)}$(li chiamo, in ordine, $v_1,v_2$)
il che significa che $
passiamo al secondo punto. Determinare una base $B'$ di $RR^4$ che contenga $B$ significa completare la base di $U$ ad una base di $RR^4$, ossia trovare una base di $RR^4$ in cui siano presenti i vettori $v_1,v_2$.
per esempio se in $RR^3$ avessi lo spazio vettoriale che ha per base $B={(1,0,0),(0,1,0)}$ possiamo considerare la base $B'={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ che è una base di $RR^3$ contente la base $B$.
Ciao! Ti ringrazio per la tempestività e la gentilezza. Se ho compreso, in sostanza mi basta aggiungere a $B$ due vettori della base canonica di $R^4$ indipendenti da $v_1$ e $v_2$. Giusto?
Non proprio.
Devi aggiungere due vettori, non per forza della base canonica di $RR^4$ il mio era un esempio, ma potrebbero anche andar bene, per cui il sistema di quattro vettori risulti una base di $RR^4$.
in questo caso ti basta aggiungere due vettori $v_3,v_4$ di $RR^4$ tali che $v_1,v_2,v_3,v_4$ siano linearmente indipendenti. Perché genererebbe un sottospazio di $RR^4$ della sua stessa dimensione e quindi dovranno coincidere
Devi aggiungere due vettori, non per forza della base canonica di $RR^4$ il mio era un esempio, ma potrebbero anche andar bene, per cui il sistema di quattro vettori risulti una base di $RR^4$.
in questo caso ti basta aggiungere due vettori $v_3,v_4$ di $RR^4$ tali che $v_1,v_2,v_3,v_4$ siano linearmente indipendenti. Perché genererebbe un sottospazio di $RR^4$ della sua stessa dimensione e quindi dovranno coincidere
A questo punto mi domando se esista una procedura per completare una base o se bisogna procedere a tentativi.
Inoltre, determinate due basi $B_1$ e $B_2$, il sottospazio supplementare $W$ è quello generato dalla coppia di vettori $v_3$ e $v_4$ che completa $B$, giusto?
Inoltre, determinate due basi $B_1$ e $B_2$, il sottospazio supplementare $W$ è quello generato dalla coppia di vettori $v_3$ e $v_4$ che completa $B$, giusto?
Ho provato a procedere in questo modo, spero sia corretto:
Ho considerato la base $B$ del sottospazio $U$ e due vettori della base canonica per $R^4$, rispettivamente $v_3 = (1,0,0,0)$ e $v_4 = (0,0,0,1)$. Poi ho verificato che i vettori della base $B$ e $v_3$ e $v_4$ fossero indipendenti. Dunque la base $B_1 = {(5,1,0,0), (0,0,3,1), (1,0,0,0), (0,0,0,1)}$ per $R^4$ contiene $B$. Di conseguenza, il sottospazio $W = {(1,0,0,0), (0,0,0,1)}$ si può dire supplementare di $U$.
Spero di non aver commesso errori!
Ho considerato la base $B$ del sottospazio $U$ e due vettori della base canonica per $R^4$, rispettivamente $v_3 = (1,0,0,0)$ e $v_4 = (0,0,0,1)$. Poi ho verificato che i vettori della base $B$ e $v_3$ e $v_4$ fossero indipendenti. Dunque la base $B_1 = {(5,1,0,0), (0,0,3,1), (1,0,0,0), (0,0,0,1)}$ per $R^4$ contiene $B$. Di conseguenza, il sottospazio $W = {(1,0,0,0), (0,0,0,1)}$ si può dire supplementare di $U$.
Spero di non aver commesso errori!
Ciao!
Hai hai fatto la combinazione lineare per verificare che siano l.i. ?
Hai hai fatto la combinazione lineare per verificare che siano l.i. ?
Si! Ho risolto il seguente sistema:
$\{(5a + c = 0),(a = 0),(3b = 0),(b+d = 0):}$
avente come soluzioni $a = 0, b = 0, c = 0, d = 0$. Pertanto l'indipendenza lineare è verificata.
$\{(5a + c = 0),(a = 0),(3b = 0),(b+d = 0):}$
avente come soluzioni $a = 0, b = 0, c = 0, d = 0$. Pertanto l'indipendenza lineare è verificata.
Bravissimo.
Questo significa ‘completare a base’ di uno spazio vettoriale.
In genere c’è un piccolo trucchetto per trovare una base, però prima ho preferito che ti industriassi un pochino.
Quando hai uno spazio vettoriale $V$(di dimensione finita), un sottospazio $WleqV$ è una base $B_W={w_1,...,w_m}$ per completarla ad una base di $V$ puoi usare questo trucchetto:
Prendi una base di $V$, chiamata $B_V={v_1,...,v_n}$, se sei su $RR^n$ puoi prendere quella canonica per comodità e consideri
Essendo $m+n>n$ quei vettori saranno linearmente dipendenti: in particolare almeno un $v_j$ si scriverà come combinazione lineare di tutti gli altri vettori, quindi lo escludi. Iterando il procedimento è scartando di volta in volta un vettore della base di $V$ otterrai un di $m+(n-m)$ vettori e quindi una base.
L'ipotesi forte è che $$ generano lo spazio $V$ quindi dopo aver scartato tot $v_j$ non appena arrivi a $n$ vettori non potrai scartarne più perché altrimenti non genererebbero lo spazio.
Lo stesso ragionamento puoi farlo aggiungendo di volta in volta un vettore della base di $V$ e verificando se sono linearmente indipendenti. Ci sono molto modi, come avrai capito.
Questo significa ‘completare a base’ di uno spazio vettoriale.
In genere c’è un piccolo trucchetto per trovare una base, però prima ho preferito che ti industriassi un pochino.
Quando hai uno spazio vettoriale $V$(di dimensione finita), un sottospazio $WleqV$ è una base $B_W={w_1,...,w_m}$ per completarla ad una base di $V$ puoi usare questo trucchetto:
Prendi una base di $V$, chiamata $B_V={v_1,...,v_n}$, se sei su $RR^n$ puoi prendere quella canonica per comodità e consideri
$B=B_VcupB_W={w_1,...,w_m,v_1,...,v_n}$
Essendo $m+n>n$ quei vettori saranno linearmente dipendenti: in particolare almeno un $v_j$ si scriverà come combinazione lineare di tutti gli altri vettori, quindi lo escludi. Iterando il procedimento è scartando di volta in volta un vettore della base di $V$ otterrai un di $m+(n-m)$ vettori e quindi una base.
L'ipotesi forte è che $
Lo stesso ragionamento puoi farlo aggiungendo di volta in volta un vettore della base di $V$ e verificando se sono linearmente indipendenti. Ci sono molto modi, come avrai capito.
Innanzitutto grazie per il tuo tempo!
Se ho ben capito, considerando una base $B_U$ di un sottospazio $U_2$ di $R^4$ e aggiungendo ad essa la base canonica $B_R$ per $R^4$, ottengo una base $B_1$ per cui $dim(B_1) = dim(B_U) + dim(B_R) = 6$. Dovendo ottenere una base $B$ di dimensione $4$, dovrò scartare da $B_1$ due vettori, dei quali almeno uno sarà dipendente.
Spero di non aver fatto confusione!
Se ho ben capito, considerando una base $B_U$ di un sottospazio $U_2$ di $R^4$ e aggiungendo ad essa la base canonica $B_R$ per $R^4$, ottengo una base $B_1$ per cui $dim(B_1) = dim(B_U) + dim(B_R) = 6$. Dovendo ottenere una base $B$ di dimensione $4$, dovrò scartare da $B_1$ due vettori, dei quali almeno uno sarà dipendente.
Spero di non aver fatto confusione!
Figurati.
Diciamo che bisogna correggere un po’ alcune cose:
- Dire ‘dimensione di una base’ non significa niente, la dimensione è di uno spazio vettoriale ed è il numero di vettori di una(e quindi di ogni) sua base.
- Una base non può avere più di un tot numero di vettori, quindi a meno che non provi che effettivamente tu abbia una base, l’unione di due basi è semplicemente un sistema di vettori(che può essere un sistema di generatori).
Se noti quando ho posto $B=B_VcupB_W$ non ho chiamato $B$ base, ma ho detto che scartando tot. vettori, otterrai una base.
- Per indicare il numero di vettori presenti in un sistema puoi usare il simbolo $|B|$ che indica la cardinalita dell’insieme, ossia il numero di vettori.
- Dovendo scartare due vettori, il primo che scarti deve essere dipendente dagli altri 5
Il secondo che scarti dovrà essere dipendente dai restanti 4
Algebra lineare solitamente è un mondo nuovo per chi inizia gli studi universitari: fatto tempo
Diciamo che bisogna correggere un po’ alcune cose:
- Dire ‘dimensione di una base’ non significa niente, la dimensione è di uno spazio vettoriale ed è il numero di vettori di una(e quindi di ogni) sua base.
- Una base non può avere più di un tot numero di vettori, quindi a meno che non provi che effettivamente tu abbia una base, l’unione di due basi è semplicemente un sistema di vettori(che può essere un sistema di generatori).
Se noti quando ho posto $B=B_VcupB_W$ non ho chiamato $B$ base, ma ho detto che scartando tot. vettori, otterrai una base.
- Per indicare il numero di vettori presenti in un sistema puoi usare il simbolo $|B|$ che indica la cardinalita dell’insieme, ossia il numero di vettori.
- Dovendo scartare due vettori, il primo che scarti deve essere dipendente dagli altri 5
Il secondo che scarti dovrà essere dipendente dai restanti 4
Algebra lineare solitamente è un mondo nuovo per chi inizia gli studi universitari: fatto tempo
Perfetto! Grazie per i chiarimenti, ho compreso alcuni concetti che effettivamente mi mancavano. Credo che possiamo considerare risolto il problema 
Se avessi bisogno di aiuto per concludere l’ultimo punto, chiedi pure
Per quanto riguarda l'ultimo punto, pensavo fosse corretto quanto avevo scritto nei post precedenti, ossia che il sottospazio supplementare è quello generato dalla base composta dai vettori che completano $B$, giusto?
Mi sorge però un'altra domanda, giusto una curiosità. Quando dici che
ti stai riferendo al Lemma di Steinitz?
Mi sorge però un'altra domanda, giusto una curiosità. Quando dici che
"anto_zoolander":
Essendo $m+n>n$ quei vettori saranno linearmente dipendenti
ti stai riferendo al Lemma di Steinitz?
Esattamente, bravo.
Infatti ogni sottospazio proprio ammette supplementare, dove il supplementare è generato dai restanti vettori che usi per completare la base
Vale anche per lo spazio $V$ stesso. Se hai uno spazio $V$ sai dirmi se esiste un sottospazio $W$ tale che $VoplusW=V$?
Si la sostanza è quella di Steinitz
Infatti ogni sottospazio proprio ammette supplementare, dove il supplementare è generato dai restanti vettori che usi per completare la base
Vale anche per lo spazio $V$ stesso. Se hai uno spazio $V$ sai dirmi se esiste un sottospazio $W$ tale che $VoplusW=V$?
Si la sostanza è quella di Steinitz
Mi verrebbe da risponderti che $W$ sia il sottospazio banale, poiché in tal caso si avrebbe $V nn W = {0}$ e l'equazione sarebbe verificata. Sono però piuttosto incerto su quanto ho detto, poiché ho sempre visto definire la somma diretta a partire da due sottospazi.
ricorda che $V$ e $<0>:=W$ sono due sottospazi di $V$.
E in effetti è esattamente come dici, $W$ deve essere il sottospazio banale.
di fatto se $V,W$ sono in somma diretta di $W$ allora:
E in effetti è esattamente come dici, $W$ deve essere il sottospazio banale.
di fatto se $V,W$ sono in somma diretta di $W$ allora:
$dimV=dim(V+W)=dimV+dimW => dimW=0$
"anto_zoolander":
ricorda che $V$ e $<0>:=W$ sono due sottospazi di $V$.
Giusto! Effettivamente non ci avevo pensato. Devo ancora ambientarmi nel mondo dell'algebra lineare e i tuoi interventi sono stati fondamentali. Grazie!
E' una bella materia a mio parere: inoltre la si usa quasi ovunque ormai.
Questo forum è una buona risorsa, utilizzarla può solo farti bene: a me ha dato tanto
Questo forum è una buona risorsa, utilizzarla può solo farti bene: a me ha dato tanto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo