Piano appartenente all'intersezione di fasci
"Sia F(r) il fascio proprio di piani di asse la retta r : $ { ( x-y+3=0 ),( 2x+y+z=0 ):} $
e sia F(s) il fascio proprio di piani di asse la retta s : $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=-3t ):} $
Se possibile, determinare un piano $ pi $ appartenente a $ F(r)nn F(s) $ e la distanza tra $ pi $ ed il piano $ alpha :{ ( x=-2t-5s ),( y=3t ),( z=1+9s ):} $"
Il vettore direzionale di r è (1, 1, -3).
Trovo il vettore direzionale di s calcolando il prodotto vettoriale tra i vettori normali (1, -1, 0) e (2, 1, 1).
Ottengo (-1, -1, 3), che è lo stesso vettore direzionale di r, quindi r ed s sono la stessa retta.
Un piano appartenente a $ F(r)nn F(s) $ è uno qualsiasi dei piani del fascio F(r) = F(s), ad esempio x-y+3=0.
Trovo l'equazione cartesiana del piano $ alpha $ considerando il prodotto vettoriale dei suoi due vettori direzionali, cioè (-2, 3, 0) e (-5, 0, 9).
Ottengo (9, 6, 5) e $ alpha: 9x + 6y + 5z +k = 0 $
Impongo il passaggio per un punto del piano, ad esempio (-2, 3, 1), e ottengo k = -5.
L'equazione è $ alpha: 9x + 6y + 5z -5 = 0 $
Determino la posizione reciproca dei piani $ alpha $ e $ pi $ tramite la matrice dei coefficienti:
$ (A)=( ( 1 , -1 , 0 ),( 9 , 6 , 5 ) ) $ ha rango 2.
$ (A|b)=( ( 1 , -1 , 0 , -3),( 9 , 6 , 5 , 5) ) $ ha rango 2.
I due piani sono incidenti e la loro distanza reciproca è 0.
La retta formata dall'intersezione dei due piani ha equazione $ { ( x+y+3=0 ),( 9x+6y+5z-5=0 ):} $
e sia F(s) il fascio proprio di piani di asse la retta s : $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=-3t ):} $
Se possibile, determinare un piano $ pi $ appartenente a $ F(r)nn F(s) $ e la distanza tra $ pi $ ed il piano $ alpha :{ ( x=-2t-5s ),( y=3t ),( z=1+9s ):} $"
Il vettore direzionale di r è (1, 1, -3).
Trovo il vettore direzionale di s calcolando il prodotto vettoriale tra i vettori normali (1, -1, 0) e (2, 1, 1).
Ottengo (-1, -1, 3), che è lo stesso vettore direzionale di r, quindi r ed s sono la stessa retta.
Un piano appartenente a $ F(r)nn F(s) $ è uno qualsiasi dei piani del fascio F(r) = F(s), ad esempio x-y+3=0.
Trovo l'equazione cartesiana del piano $ alpha $ considerando il prodotto vettoriale dei suoi due vettori direzionali, cioè (-2, 3, 0) e (-5, 0, 9).
Ottengo (9, 6, 5) e $ alpha: 9x + 6y + 5z +k = 0 $
Impongo il passaggio per un punto del piano, ad esempio (-2, 3, 1), e ottengo k = -5.
L'equazione è $ alpha: 9x + 6y + 5z -5 = 0 $
Determino la posizione reciproca dei piani $ alpha $ e $ pi $ tramite la matrice dei coefficienti:
$ (A)=( ( 1 , -1 , 0 ),( 9 , 6 , 5 ) ) $ ha rango 2.
$ (A|b)=( ( 1 , -1 , 0 , -3),( 9 , 6 , 5 , 5) ) $ ha rango 2.
I due piani sono incidenti e la loro distanza reciproca è 0.
La retta formata dall'intersezione dei due piani ha equazione $ { ( x+y+3=0 ),( 9x+6y+5z-5=0 ):} $
Risposte
Riprovo:
1) prima verifico la posizione reciproca delle rette calcolando i vettori direzionali e scoprendo che sono uguali.
Per verificare che non siano coincidenti, trovo la rappresentazione cartesiana della retta s, cioè:
$ { ( x-y-2=0 ),( 3x+z-3=0 ):} $
Posso scrivere la matrice completa dei coefficienti:
$ ( ( 1 , -1 , 0 , -3 ),( 2 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 2 ),( 3 , 0 , 1 , 3 ) ) $
che ha rango 4, quindi le rette non coincidono.
2) Un piano appartenente ad $ F(r)nn F(s) $ è un qualsiasi piano che ha come vettori direzionali $ v = (1, 1, -3) $, cioè il vettore direzionale delle due rette, e un altro vettore passante per due punti a caso delle rette.
Prendo i punti $ P(1, -1, 0) $ per s e $ Q(0, 3, -3) $ per r.
Il secondo vettore direzionale è $ w = (1, -4, 3) $.
Trovo un vettore ortogonale a v e w facendone il prodotto vettoriale e ottengo (9, 6, 5).
$ pi: 9x+6y+5z+k=0 $
Impongo il passaggio per (1, -1, 0) e ottengo k = -3.
$ pi: 9x+6y+5z-3=0 $
3) $ alpha: 9x + 6y + 5z -5 = 0 $ e $ pi: 9x+6y+5z-3=0 $ hanno distanza 2.
1) prima verifico la posizione reciproca delle rette calcolando i vettori direzionali e scoprendo che sono uguali.
Per verificare che non siano coincidenti, trovo la rappresentazione cartesiana della retta s, cioè:
$ { ( x-y-2=0 ),( 3x+z-3=0 ):} $
Posso scrivere la matrice completa dei coefficienti:
$ ( ( 1 , -1 , 0 , -3 ),( 2 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 2 ),( 3 , 0 , 1 , 3 ) ) $
che ha rango 4, quindi le rette non coincidono.
2) Un piano appartenente ad $ F(r)nn F(s) $ è un qualsiasi piano che ha come vettori direzionali $ v = (1, 1, -3) $, cioè il vettore direzionale delle due rette, e un altro vettore passante per due punti a caso delle rette.
Prendo i punti $ P(1, -1, 0) $ per s e $ Q(0, 3, -3) $ per r.
Il secondo vettore direzionale è $ w = (1, -4, 3) $.
Trovo un vettore ortogonale a v e w facendone il prodotto vettoriale e ottengo (9, 6, 5).
$ pi: 9x+6y+5z+k=0 $
Impongo il passaggio per (1, -1, 0) e ottengo k = -3.
$ pi: 9x+6y+5z-3=0 $
3) $ alpha: 9x + 6y + 5z -5 = 0 $ e $ pi: 9x+6y+5z-3=0 $ hanno distanza 2.
"arnett":
Bene, è giusto. L'unica cosa è che per fare prima potevi per esempio notare che $ (1, -1, 0) $ non sta in $ r $ per dire che le rette non sono la stessa retta, invece che passare per la matrice completa, ma è solo un consiglio.
Grazie, me ne ricorderò!
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