Esercizio su spazio quoziente
Buona sera! Chiedo a voi un parere su questo esercizio
1) Sia $X$ uno spazio topologico e $ ~= $ una relazione d'equivalenza su $X$. Dimostrare che se il quoziente $ X//~= $ è uno spazio di Hausdorff, allora ogni classe d'equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$.
2) Sia $X=RR$ e definiamo una relazione di equivalenza su $X$ come segue
$ x\~=y \Leftrightarrow { ( x=y\ oppure ),( |x|<1 \e\ |y|<1 ):} $
Dimostrare che lo spazio quoziente $ X//~= $ non è di Hausdorff
1) Sia $ X//~= $ di Hausdorff. Dalla caratterizzazione degli spazi $T_1$ ogni punto $x in X//~= $ è chiuso. Ricordiamo che, per definizione, lo spazio quoziente è definito come l'insieme delle classi di equivalenza di $X$, e $ pi: X rarr X//~= $ è continua e suriettiva. Allora $ [x] $ è chiuso in $ X//~= rarr pi^-1 ([x]) $ è chiuso in $X$ (inoltre $pi$ è un'applicazione chiusa) $rarr$ ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$
2)Supponiamo per assurdo che $ X//~= $ sia di Hausdorff. Le classi di equivalenza di $X$ sono: $x$ o $x in (-1,1)$.
Dal punto 1) ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$. Ma $X=RR$ e $(-1,1)$ è aperto in $RR rarr$ contraddizione , $ X//~= $ non è di Hausdorff
1) Sia $X$ uno spazio topologico e $ ~= $ una relazione d'equivalenza su $X$. Dimostrare che se il quoziente $ X//~= $ è uno spazio di Hausdorff, allora ogni classe d'equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$.
2) Sia $X=RR$ e definiamo una relazione di equivalenza su $X$ come segue
$ x\~=y \Leftrightarrow { ( x=y\ oppure ),( |x|<1 \e\ |y|<1 ):} $
Dimostrare che lo spazio quoziente $ X//~= $ non è di Hausdorff
1) Sia $ X//~= $ di Hausdorff. Dalla caratterizzazione degli spazi $T_1$ ogni punto $x in X//~= $ è chiuso. Ricordiamo che, per definizione, lo spazio quoziente è definito come l'insieme delle classi di equivalenza di $X$, e $ pi: X rarr X//~= $ è continua e suriettiva. Allora $ [x] $ è chiuso in $ X//~= rarr pi^-1 ([x]) $ è chiuso in $X$ (inoltre $pi$ è un'applicazione chiusa) $rarr$ ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$
2)Supponiamo per assurdo che $ X//~= $ sia di Hausdorff. Le classi di equivalenza di $X$ sono: $x$ o $x in (-1,1)$.
Dal punto 1) ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$. Ma $X=RR$ e $(-1,1)$ è aperto in $RR rarr$ contraddizione , $ X//~= $ non è di Hausdorff
Risposte
Esecuzione perfetta!
...e prova a collassare \(\displaystyle\mathbb{R}\) su un insieme chiuso, tipo \(\displaystyle[-1,1]\).
...e prova a collassare \(\displaystyle\mathbb{R}\) su un insieme chiuso, tipo \(\displaystyle[-1,1]\).
Grazie per la risposta!
Con collassare intendi ''mandare'' $ RR $ in $ [-1,1]$ in modo che la classe di equivalenza sia $ x in [-1,1]$?In questo caso la classe di equivalenza sarebbe di Hausdorff (perché è un sottoinsieme chiuso di $ RR $, ma è di Hausdorff anche perché è metrizzabile)
Se ho interpretato male il termine ''collassare'' mi scuso in anticipo e ti chiedo di dirmi come interpretarlo
Con collassare intendi ''mandare'' $ RR $ in $ [-1,1]$ in modo che la classe di equivalenza sia $ x in [-1,1]$?In questo caso la classe di equivalenza sarebbe di Hausdorff (perché è un sottoinsieme chiuso di $ RR $, ma è di Hausdorff anche perché è metrizzabile)
Se ho interpretato male il termine ''collassare'' mi scuso in anticipo e ti chiedo di dirmi come interpretarlo
Di sicuro intende che (sennò al limite mi corregge) fai il quoziente per la relazione di equivalenza che ha come classi $[-1,1]$ e ${x}$ se $|x|>1$.
@otta86 Esatto!
@sira provaci; e stai attenta che il primo esercizio ti permette di affermare che lo spazio quoziente che ti ho proposto è (almeno) \(\displaystyle T_1\).
@sira provaci; e stai attenta che il primo esercizio ti permette di affermare che lo spazio quoziente che ti ho proposto è (almeno) \(\displaystyle T_1\).
Grazie per la risposta!
E quindi non è come avevo scritto? Cioè, ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $RR$, quindi ogni punto $x in X// ~= $ è chiuso $ rarr $ è $T_1$, e dal punto 1 dell'esercizio è anche $T_2$
(inoltre $[-1,1]$ è pure metrizzabile quindi è di Hausdorff)
E quindi non è come avevo scritto? Cioè, ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $RR$, quindi ogni punto $x in X// ~= $ è chiuso $ rarr $ è $T_1$, e dal punto 1 dell'esercizio è anche $T_2$
(inoltre $[-1,1]$ è pure metrizzabile quindi è di Hausdorff)
Io ti ho proposto di studiare lo spazio \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) con
\[
x,y\in\mathbb{R},\,x\sim y\iff\begin{cases}
x=y\\
\text{oppure}\\
x,y\in[-1,1]
\end{cases},
\]
\(\displaystyle\mathbb{R}\) dotato della topologia naturale ed \(\displaystyle X\) della relativa topologia quoziente.
Mi stai dicendo che \(\displaystyle X\) è omeomorfo a \(\displaystyle[-1,1]\)? Falso: \(\displaystyle X\) non è compatto a differenza di \(\displaystyle[-1,1]\) (esercizio facoltativo), e lo puoi capire facendo un disegno!
Utilizzando la tecnica dell'esercizio 1, ottieni che i punti di \(\displaystyle X\) sono chiusi e per ciò \(\displaystyle X\) è uno spazio \(\displaystyle T_1\). Ma al momento chi ti dice che \(\displaystyle X\) sia \(\displaystyle T_2\), ovvero soddisfi le assunzioni dell'esercizio 1?
\[
x,y\in\mathbb{R},\,x\sim y\iff\begin{cases}
x=y\\
\text{oppure}\\
x,y\in[-1,1]
\end{cases},
\]
\(\displaystyle\mathbb{R}\) dotato della topologia naturale ed \(\displaystyle X\) della relativa topologia quoziente.
Mi stai dicendo che \(\displaystyle X\) è omeomorfo a \(\displaystyle[-1,1]\)? Falso: \(\displaystyle X\) non è compatto a differenza di \(\displaystyle[-1,1]\) (esercizio facoltativo), e lo puoi capire facendo un disegno!
Utilizzando la tecnica dell'esercizio 1, ottieni che i punti di \(\displaystyle X\) sono chiusi e per ciò \(\displaystyle X\) è uno spazio \(\displaystyle T_1\). Ma al momento chi ti dice che \(\displaystyle X\) sia \(\displaystyle T_2\), ovvero soddisfi le assunzioni dell'esercizio 1?
Grazie per la risposta!
$ RR $ e $ [-1,1] $ non sono omeomorfi perché il primo non è né chiuso, né limitato mentre, il secondo è chiuso e limitato in $ RR $ (questo sfruttando Heine-Borel)
Hai ragione, non è necessariamente di Hausdorff ( non c'è un'implicazione doppia), quindi secondo il mio esercizio poiché $ {x} $ e $[-1,1]$ sono chiusi di $ RR $ ogni punto $ x $ o ogni punto di $ [-1,1] $ è chiuso $ rarr $ è $ T_1 $
Il dubbio che ancora ho è questo
$ [-1, 1] $ non è metrizzabile? E se così fosse non ho dimostrato che è di Hausdorff?
$ RR $ e $ [-1,1] $ non sono omeomorfi perché il primo non è né chiuso, né limitato mentre, il secondo è chiuso e limitato in $ RR $ (questo sfruttando Heine-Borel)
Hai ragione, non è necessariamente di Hausdorff ( non c'è un'implicazione doppia), quindi secondo il mio esercizio poiché $ {x} $ e $[-1,1]$ sono chiusi di $ RR $ ogni punto $ x $ o ogni punto di $ [-1,1] $ è chiuso $ rarr $ è $ T_1 $
Il dubbio che ancora ho è questo
$ [-1, 1] $ non è metrizzabile? E se così fosse non ho dimostrato che è di Hausdorff?
@sira ...ma che esercizio stai svolgendo? 
Tu devi ragionare sui punti di \(\displaystyle X\) non sui punti di \(\displaystyle[-1,1]\) o di \(\displaystyle\mathbb{R}\)!!!
La domanda è sempre quella: \(\displaystyle X\) è di Hausdorff?
E il suggerimento è sempre lo stesso: utilizzando la tecnica dell'esercizio 1, riesci a dimostrare che \(\displaystyle X\) è di Fréchet!
Tu devi ragionare sui punti di \(\displaystyle X\) non sui punti di \(\displaystyle[-1,1]\) o di \(\displaystyle\mathbb{R}\)!!!
La domanda è sempre quella: \(\displaystyle X\) è di Hausdorff?
E il suggerimento è sempre lo stesso: utilizzando la tecnica dell'esercizio 1, riesci a dimostrare che \(\displaystyle X\) è di Fréchet!
Se ragiono su $ X $ non ho elementi sufficienti per dire che è Hausdorff. Solo $ T_1 $ (quello che ho scritto nel post precedente per dimostrare che è $ T_1 $ è giusto? )
Io ho solo letto argomentazioni corrette su \(\displaystyle[-1,1]\), non su \(\displaystyle X\)...
Grazie per avermi risposto e per la pazienza!
Forse la cosa che stai cercando di farmi capire è questa (correggimi se sbaglio )
se $ X//~= $ è di Hausdorff e $pi $ è un'applicazione chiusa, allora $ X $ dovrebbe essere compatto. Ma $ X = RR $, quindi non è compatto perché non è limitato $ rarr X//~= $ non è di Hausdorff
Forse la cosa che stai cercando di farmi capire è questa (correggimi se sbaglio )
se $ X//~= $ è di Hausdorff e $pi $ è un'applicazione chiusa, allora $ X $ dovrebbe essere compatto. Ma $ X = RR $, quindi non è compatto perché non è limitato $ rarr X//~= $ non è di Hausdorff
Cara sira,
se io ho fissato \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) con \(\displaystyle\sim\) la relazione di equivalenza precedentemente definita, e di conseguenza resta definita l'applicazione (continua) \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}\to X\): perché tu ragioni senza specificare che continui ad usare le tue di notazioni?
se io ho fissato \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) con \(\displaystyle\sim\) la relazione di equivalenza precedentemente definita, e di conseguenza resta definita l'applicazione (continua) \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}\to X\): perché tu ragioni senza specificare che continui ad usare le tue di notazioni?
Per non aver specificato le notazioni mi scuso, mi sono un pò fissata con le mie! Forse ho creato un pò di confusione! Ma è ancora sbagliato quello che ho scritto?
Non lo so a questo punto...
Come dimostri che \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) è di Hausdorff?
Inizia a dimostrare che i suoi punti sono chiusi!
Come dimostri che \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) è di Hausdorff?
Inizia a dimostrare che i suoi punti sono chiusi!
La relazione di equivalenza su $ RR $ è definita da ${x} $ oppure da $ x in [ - 1, 1 ] $.
Se $ x in [ - 1, 1 ] $ allora ogni punto $ pi^(-1)([x]) $ un sottoinsieme chiuso di $ RR$, ed inoltre, essendo $[-1,1]$ di Hausdorff (perché metrizzabile) allora $ pi^(-1)([x]) $ è un sottoinsieme chiuso di $ RR $.
Se consideriamo ${x} $, poiché è un punto di $ RR$, ed essendo ogni singoletto un chiuso in $ RR $ , allora $ pi^(-1)([x])$ è un sottoinsieme chiuso di $ RR $.
Per rispondere alla tua domanda, per dimostrare che i punti di $ X $ sono chiusi, direi (non so se è giusto) che sono contenuti in un sottoinsieme chiuso di $ RR $ , quindi ognuno di essi è chiuso
Se tutto ciò non va bene, potresti gentilmente darmi l'idea della dimostrazione giusta?
Se $ x in [ - 1, 1 ] $ allora ogni punto $ pi^(-1)([x]) $ un sottoinsieme chiuso di $ RR$, ed inoltre, essendo $[-1,1]$ di Hausdorff (perché metrizzabile) allora $ pi^(-1)([x]) $ è un sottoinsieme chiuso di $ RR $.
Se consideriamo ${x} $, poiché è un punto di $ RR$, ed essendo ogni singoletto un chiuso in $ RR $ , allora $ pi^(-1)([x])$ è un sottoinsieme chiuso di $ RR $.
Per rispondere alla tua domanda, per dimostrare che i punti di $ X $ sono chiusi, direi (non so se è giusto) che sono contenuti in un sottoinsieme chiuso di $ RR $ , quindi ognuno di essi è chiuso
Se tutto ciò non va bene, potresti gentilmente darmi l'idea della dimostrazione giusta?
Non ci siamo, ma non perché non ci siamo capiti, ma perché se \(\displaystyle x\in[-1,1]\) allora \(\displaystyle\pi^{-1}([x])=[-1,1]\) che è chiuso di suo (che c'entrano le sue altre proprietà topologiche?); perché identifichi tutti i punti di \(\displaystyle[-1,1]\) tra di loro...
Ti è chiaro?
Aggiustato questo dettaglio, hai che \(\displaystyle X\) è di Fréchet! Come dimostri che è di Hausdorff?
Ti è chiaro?
Aggiustato questo dettaglio, hai che \(\displaystyle X\) è di Fréchet! Come dimostri che è di Hausdorff?
Grazie per la risposta!
Io l'ho pensato così (eventualmente se non è corretto dammi la soluzione esatta)
Se $ X $ è di Frechet ogni sottoinsieme finito di $ X $ è chiuso. Ci chiediamo se in $ X $ ci siano due insiemi la cui intersezione sia vuoto. Consideriamo un intorno di $-1$ e un intorno di $ 1$. Ad esempio essi sono $[-1,1/2) $ e $ (1/2,1] $. Poiché sono disgiunti allora $X $ è di Hausdorff. ( gli insiemi di $ X $ sono solo $[-1,1] $ e quindi anche i suoi sottoinsiemi e gli ${x} in RR $, giusto? )
(Se così non fosse non so come si fa)
Io l'ho pensato così (eventualmente se non è corretto dammi la soluzione esatta)
Se $ X $ è di Frechet ogni sottoinsieme finito di $ X $ è chiuso. Ci chiediamo se in $ X $ ci siano due insiemi la cui intersezione sia vuoto. Consideriamo un intorno di $-1$ e un intorno di $ 1$. Ad esempio essi sono $[-1,1/2) $ e $ (1/2,1] $. Poiché sono disgiunti allora $X $ è di Hausdorff. ( gli insiemi di $ X $ sono solo $[-1,1] $ e quindi anche i suoi sottoinsiemi e gli ${x} in RR $, giusto? )
(Se così non fosse non so come si fa)
Scusa, ma ti è chiaro che \(\displaystyle\forall x,y\in[-1,1]\) allora \(\displaystyle[x]=[y]\in X\)?
e quindi non è di Hausdorff ?!
@sira ma ci sei?
Dico sul serio: ma ti è chiaro la nozione di "relazione di equivalenza"?
Prova prendere un filo, se identifichi gli estremi di esso (ovvero li congiungi) ottieni (a meno di omeomorfismi) una circonferenza: ti sembra?
Se prendi un foglio di carta e identifichi i lati opposti (senza torsioni) ottieni un toro (o ciambella a meno di omeomorfismo): riesci a immaginarlo?
...e credimi che entrambi sono spazi di Hausdorff compatti, con la topologia indotta da quella naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\)!
Se io ti scrivo:
\[
x,y\in\mathbb{R},\,x\sim y\iff\begin{cases}
x=y\\
\text{oppure}\\
x,y\in[-1,1]
\end{cases}
\]
quali sono i punti che ho identificato a meno della relazione di equivalenza (esercizio) \(\displaystyle\sim\)?
Dico sul serio: ma ti è chiaro la nozione di "relazione di equivalenza"?
Prova prendere un filo, se identifichi gli estremi di esso (ovvero li congiungi) ottieni (a meno di omeomorfismi) una circonferenza: ti sembra?
Se prendi un foglio di carta e identifichi i lati opposti (senza torsioni) ottieni un toro (o ciambella a meno di omeomorfismo): riesci a immaginarlo?
...e credimi che entrambi sono spazi di Hausdorff compatti, con la topologia indotta da quella naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\)!
Se io ti scrivo:
\[
x,y\in\mathbb{R},\,x\sim y\iff\begin{cases}
x=y\\
\text{oppure}\\
x,y\in[-1,1]
\end{cases}
\]
quali sono i punti che ho identificato a meno della relazione di equivalenza (esercizio) \(\displaystyle\sim\)?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo