Vettori liberi, spazi e sottospazi affini
Salve a tutti, ho un dubbio con un esempio di sottospazio affine.
Sia $A_2$ il piano affine reale associato allo spazio dei vettori liberi $V^2$. Siano $A\in A_2, v\inV^2$. Considero $W=\inV^2$. Allora $S(A,)$ il sottospazio affine di $A_2$ passante per $A$ e di giacitura $$ sarà formato da ${P\inA_2 | vec(AP) \in }$.
Ora, un vettore libero non è altro che una classe di equivalenza formata da tutti i vettori applicati equipollenti a tale vettore. Se ad esempio in $R^2$ scelgo $v=(1,1)$, la classe di equivalenza di $[v]$ sarà formata da tutti quei vettori che, non solo giacciono sulla stessa retta passante per $v$, in questo caso $y=x$, e con la stessa lunghezza (quindi 1), ma anche su tutte le rette parallele a $y=x$ (sempre di "lunghezza 1). Giusto?
Il sottospazio vettoriale generato da un vettore libero quindi sarà formato da tutte le combinazioni lineari di tutti i vettori equipollenti a $v$?
Ovvero, non potrò generare tutto il piano, ma avrò un infinito numero di vettori concordi che riempiono ugualmente tutto il piano.
Allora quando mi si definisce il sottospazio affine come una retta passante per $A$ e parallela a $v$ è perché, detto brutalmente, tra tutte le "rette" (intese come infinitamente formate da vettori congruenti e concordi a v), scelgo quella che contiene il punto A? e quindi tutti i vettori $AP$ al variare di $P$ in $A_2$ equipollenti a $v$?
Non so se mi sono spiegato correttamente con quest'ultima cosa. So che non è corretta come definizione. Però sto cercando di dare un senso e un senso grafico al tutto per poi magari poterlo estendere ad altri spazi vettoriali.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Sia $A_2$ il piano affine reale associato allo spazio dei vettori liberi $V^2$. Siano $A\in A_2, v\inV^2$. Considero $W=
Ora, un vettore libero non è altro che una classe di equivalenza formata da tutti i vettori applicati equipollenti a tale vettore. Se ad esempio in $R^2$ scelgo $v=(1,1)$, la classe di equivalenza di $[v]$ sarà formata da tutti quei vettori che, non solo giacciono sulla stessa retta passante per $v$, in questo caso $y=x$, e con la stessa lunghezza (quindi 1), ma anche su tutte le rette parallele a $y=x$ (sempre di "lunghezza 1). Giusto?
Il sottospazio vettoriale generato da un vettore libero quindi sarà formato da tutte le combinazioni lineari di tutti i vettori equipollenti a $v$?
Ovvero, non potrò generare tutto il piano, ma avrò un infinito numero di vettori concordi che riempiono ugualmente tutto il piano.
Allora quando mi si definisce il sottospazio affine come una retta passante per $A$ e parallela a $v$ è perché, detto brutalmente, tra tutte le "rette" (intese come infinitamente formate da vettori congruenti e concordi a v), scelgo quella che contiene il punto A? e quindi tutti i vettori $AP$ al variare di $P$ in $A_2$ equipollenti a $v$?
Non so se mi sono spiegato correttamente con quest'ultima cosa. So che non è corretta come definizione. Però sto cercando di dare un senso e un senso grafico al tutto per poi magari poterlo estendere ad altri spazi vettoriali.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Un attimo: mi sono perso... perché parli di lungezza? Nella geometria affine non è necessaria l'uso di una metrica!
Come definisci rigorosamente equipollenti due vettori?
Come definisci rigorosamente equipollenti due vettori?
Non so se ho una definizione rigorosa di vettori equipollenti. So che due vettori applicati si dicono equivalenti o equipollenti se sono paralleli, congruenti e concordi. Sotto la definizione di congruenza: "se hanno la stessa lunghezza". Chiaramente sono appunti delle prime lezioni.
Ora stavo iniziando a studiare i sottospazi affini incidenti, paralleli, sghembi e congiungenti però quando ho fatto la domanda ero totalmente estraneo a questi concetti e non credo che in tali definizioni rientrino i vettori applicati.
Non so se beccherò una definizione più rigorosa di equipollenza.
Ne approfitto per chiederti un libro o delle dispense sparse in rete con cui confrontare i miei appunti, perché sui libri consigliati dalla mia docente trovo poco e nulla. Anche su internet sto avendo difficoltà a trovare argomenti dettagliati riguardanti la geometria affine, perlomeno dal punto di vista teorico.
Ora stavo iniziando a studiare i sottospazi affini incidenti, paralleli, sghembi e congiungenti però quando ho fatto la domanda ero totalmente estraneo a questi concetti e non credo che in tali definizioni rientrino i vettori applicati.
Non so se beccherò una definizione più rigorosa di equipollenza.
Ne approfitto per chiederti un libro o delle dispense sparse in rete con cui confrontare i miei appunti, perché sui libri consigliati dalla mia docente trovo poco e nulla. Anche su internet sto avendo difficoltà a trovare argomenti dettagliati riguardanti la geometria affine, perlomeno dal punto di vista teorico.
Come idee ci siamo; ma in questa definizione manca il rigore perché, ad esempio, si chiede già la conoscenza del concetto di parallelelismo!
...e come ho già scritto, non serve la metrica per iniziare lo studio della geometria affine.
Se proprio vuoi guardare un'ulteriore dispensa, ti suggerisco la mia (se non riesci, apri la mia pagina web)!
---
L'idea è che tu chiami punti affini gli elementi di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), e definisci vettori liberi delle opportune classi di equivalenza. In disegno: fissi due punti, una freccia dell'uno verso l'altro e lo chiami vettore applicato nell'orgine; tutti i vettori ad esso equipollenti formano una classe di equivalenza che si chiama vettore libero.
Chiaro questo?
...e come ho già scritto, non serve la metrica per iniziare lo studio della geometria affine.
Se proprio vuoi guardare un'ulteriore dispensa, ti suggerisco la mia (se non riesci, apri la mia pagina web)!
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L'idea è che tu chiami punti affini gli elementi di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), e definisci vettori liberi delle opportune classi di equivalenza. In disegno: fissi due punti, una freccia dell'uno verso l'altro e lo chiami vettore applicato nell'orgine; tutti i vettori ad esso equipollenti formano una classe di equivalenza che si chiama vettore libero.
Chiaro questo?
Do uno sguardo alle dispense.
Chiaro tranne che per la dicitura "nell'origine". E' necessaria? Io ho definito un vettore applicato in un generico punto O, un segmento orientato avente come primo estremo O e come secondo estremo un altro punto $A\inA_i$ (insieme dei punti di una retta, piano o spazio).
Chiaro tranne che per la dicitura "nell'origine". E' necessaria? Io ho definito un vettore applicato in un generico punto O, un segmento orientato avente come primo estremo O e come secondo estremo un altro punto $A\inA_i$ (insieme dei punti di una retta, piano o spazio).
Sì, è quello che intendo: chiamo "origine del vettore" o "punto di applicazione del vettore" il punto (affine) da cui inizio a disegnare il vettore.
Ah ok, perdona il dubbio sciocco allora. Fin qui tutto chiaro.
A questo stadio, riesci a definire una retta affine?
In linea teorica sì. Praticamente non lo so.
Possiedo il concetto di spazio affine, inteso come una struttura algebrica che associa a coppie di punti (di $A_n$), vettori in un K-spazio vettoriale ($V$) mediante un'applicazione $f$ (che rispetti i due assiomi).
Inizio a perdermi sul concetto di sottospazio affine. E' chiaro che sia un sottoinsieme di punti di $A_n$ caratterizzati dal fatto che i vettori applicati appartengono a un sottospazio vettoriale $W\subseteqV$.
Quindi se la dimensione del sottospazio affine è $1$ si parla di retta affine.
In riferimento ad $\RR^2$, che mi sembra lo spazio vettoriale più semplice da avere in mente, un sottospazio vettoriale di questo, sarebbe una qualunque retta passante per l'origine (chiaramente anche il piano stesso e il sottospazio banale).
Forse quello che mi manda in tilt è proprio il punto di applicazione $A$ per il quale il sottospazio affine è passante. Perché intuitivamente direi che tra tutti i sottospazi vettoriali di $\RR^2$ (rette) scelgo quello passante per A. Invece, forse, dovrei traslare l'origine di riferimento su A e prendere la retta parallela al sottospazio vettoriale scelto. Però a quel punto i vettori applicati non apparterrebbero più a $W$, no ?
Possiedo il concetto di spazio affine, inteso come una struttura algebrica che associa a coppie di punti (di $A_n$), vettori in un K-spazio vettoriale ($V$) mediante un'applicazione $f$ (che rispetti i due assiomi).
Inizio a perdermi sul concetto di sottospazio affine. E' chiaro che sia un sottoinsieme di punti di $A_n$ caratterizzati dal fatto che i vettori applicati appartengono a un sottospazio vettoriale $W\subseteqV$.
Quindi se la dimensione del sottospazio affine è $1$ si parla di retta affine.
In riferimento ad $\RR^2$, che mi sembra lo spazio vettoriale più semplice da avere in mente, un sottospazio vettoriale di questo, sarebbe una qualunque retta passante per l'origine (chiaramente anche il piano stesso e il sottospazio banale).
Forse quello che mi manda in tilt è proprio il punto di applicazione $A$ per il quale il sottospazio affine è passante. Perché intuitivamente direi che tra tutti i sottospazi vettoriali di $\RR^2$ (rette) scelgo quello passante per A. Invece, forse, dovrei traslare l'origine di riferimento su A e prendere la retta parallela al sottospazio vettoriale scelto. Però a quel punto i vettori applicati non apparterrebbero più a $W$, no ?
Ecco, è qui il solito imbroglio!
Devi distinguere su \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) le strutture di spazio vettoriale (reale) e di spazio affine.
Come riporti nel thread di apertura, fissato un punto \(O\), consideri i punti \(P\) tali che \(\overrightarrow{OP}\) appartiene a un fissato spazio vettoriale!
Devi distinguere su \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) le strutture di spazio vettoriale (reale) e di spazio affine.
Come riporti nel thread di apertura, fissato un punto \(O\), consideri i punti \(P\) tali che \(\overrightarrow{OP}\) appartiene a un fissato spazio vettoriale!
Ma così l'unico modo che avrei per scegliere $O$ non sarebbe su una retta passante per l'origine? Se $vec(OP)$ deve appartenere ad uno spazio vettoriale
Ma con \(\displaystyle O\) non indico il punto \(\displaystyle(0,0)\in\mathbb{R}^2\), ìndico un punto qualsiasi...
Si anche io; volevo dire che in $\RR^2$ tutti i sottospazi vettoriali sono rette passanti per l'origine. Quindi sceglierei la retta che passa per l'origine e per O e tutti i punti P tale che $vec(OP)$ giace sulla retta scelta. So che è sbagliato. Però continuo a non capire.
Che intendi per distinguere le strutture di spazio vettoriale e affine su $\RR^2$?
Che intendi per distinguere le strutture di spazio vettoriale e affine su $\RR^2$?
Intendo affermare che non per forza devi pensare al punto \(\displaystyle(0,0)\in\mathbb{R}^2\), ed alle rette passanti per esso!
Esempio: chi è la retta \(r\) passante per il punto \(\displaystyle O=(-1,2)\in\mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}\) tale che \(P\in r\) se e solo se \(\overrightarrow{OP}\in\left\langle(-2,1)\right\rangle\)?
Esempio: chi è la retta \(r\) passante per il punto \(\displaystyle O=(-1,2)\in\mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}\) tale che \(P\in r\) se e solo se \(\overrightarrow{OP}\in\left\langle(-2,1)\right\rangle\)?
$r:y=x+3$ ?
Non so come porre la domanda.
$W=<(-2,1)>$ è la retta $y=-1/2x$; come fa $vec(OP)$ ad appartenere a $W$ se $O$ non appartiene a $W$ ?
Tutti gli altri punti P della retta come possono essere tali per cui $vec(OP)$ è ancora in $<(-2,1)>$ ?
Non so come porre la domanda.
$W=<(-2,1)>$ è la retta $y=-1/2x$; come fa $vec(OP)$ ad appartenere a $W$ se $O$ non appartiene a $W$ ?
Tutti gli altri punti P della retta come possono essere tali per cui $vec(OP)$ è ancora in $<(-2,1)>$ ?
"paolo1712":
Non so come porre la domanda.
$W=<(-2,1)>$ è la retta $y=-1/2x$; come fa $vec(OP)$ ad appartenere a $W$ se $O$ non appartiene a $W$ ?
$O$ non può appartenere a $W$ perché $O$ appartiene alla spazio affine non a quello vettoriale associato.
Devi tenere presente di avere due spazi distinti.
"paolo1712":
Tutti gli altri punti P della retta come possono essere tali per cui $vec(OP)$ è ancora in $<(-2,1)>$ ?
Perchè $f(O,P)= vec(OP)$, dove $vec(O,P)$ è un vettore dello spazio vettoriale associato, in questo caso la relazione sarebbe $vec(OP)= t(-,2,1)$ e si parla di retta affine perché $W$ ha dimensione 1. $(-2,1)$ è anche detto vettore direzione, e $W$ giacitura del sottospazio affine.
Buona giornata
Ok credo di aver capito. L'applicazione $f$ è tale per cui scelti due punti $O,P\in RR^2$, mi associa $f(O,P)=P-O$. Ora essendo $O$ fisso, devo trovare delle coordinate di $P$ tali che $f(O,P)=P-O$ mi dia un valore esprimibile come combinazione lineare di $<(-2,1)>$. Giusto?
Quindi la retta che ho scritto è sbagliata? dovrei trovare qualcosa del tipo $t*(-2,1)=(a+1,b-2)$ considerando $P=(a,b)$ ovvero, conti alla mano, una coppia di valori tali che $2b+a=3$? Quindi la retta $r:y=-x/2+3/2$ ?
Alla luce di quanto detto, tornando alla domanda di apertura, cos'è uno spazio vettoriale generato da un vettore libero?
Quindi la retta che ho scritto è sbagliata? dovrei trovare qualcosa del tipo $t*(-2,1)=(a+1,b-2)$ considerando $P=(a,b)$ ovvero, conti alla mano, una coppia di valori tali che $2b+a=3$? Quindi la retta $r:y=-x/2+3/2$ ?
Alla luce di quanto detto, tornando alla domanda di apertura, cos'è uno spazio vettoriale generato da un vettore libero?
Bene, l'equazione della retta l'hai calcolata correttamente!
L'ultima domanda è mal posta: ti è chiaro cos'è lo spazio vettoriale dei vettori liberi associato all'insieme \(\mathbb{R}^2\)?
L'ultima domanda è mal posta: ti è chiaro cos'è lo spazio vettoriale dei vettori liberi associato all'insieme \(\mathbb{R}^2\)?
Non credo. E' lo spazio vettoriale costruito sull'insieme dei vettori liberi. Essendo un vettore libero una classe di equivalenza, ovvero un insieme di vettori equipollenti a un dato vettore, intuitivamente direi che è uno spazio costruito su un insieme di insiemi (?)
Sì, ma non hai bisogno di ricordati che lo spazio dei vettori liberi è "un insieme di insiemi di vettori"...
Cioè, una volta identificati i vettori applicati a meno dell'equipollenza, non ti devi ricordare tutto questo marchingegno!
Cioè, una volta identificati i vettori applicati a meno dell'equipollenza, non ti devi ricordare tutto questo marchingegno!
Quindi lo identifico come uno spazio vettoriale dove gli elementi sono i rappresentanti di tutte le possibili classi di equivalenza?
In $K^n$ (non so se posso costruirlo su altri tipi di spazi come ad esempio polinomi o matrici), lo spazio generato da un vettore libero sarebbe identico ad uno spazio generato da un vettore "normale" con la differenza che come generatore posso scegliere un qualunque vettore della sua classe di equivalenza?
Se ad esempio definisco $[vec(AB)]= {vec(OP),vec(AB),vec(LM)...}$ allora sarà vero che $"="$ ?
In $K^n$ (non so se posso costruirlo su altri tipi di spazi come ad esempio polinomi o matrici), lo spazio generato da un vettore libero sarebbe identico ad uno spazio generato da un vettore "normale" con la differenza che come generatore posso scegliere un qualunque vettore della sua classe di equivalenza?
Se ad esempio definisco $[vec(AB)]= {vec(OP),vec(AB),vec(LM)...}$ allora sarà vero che $
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