Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Scusate qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio.
data l'applicazione:
fh : ax3 + bx2 + cx + d ∈ R[x]3 → (2a − b + d)x^3 + h(b + c)x^2 + cx + a − b + 2c + 2d ∈ R[x]3
i) Calcolare la dimensione ed una base di Imf0 e kerf0.
Sia $\varphi: (0,+infty)xx(0,2pi)->RR^3$ con $\varphi(r, \theta)=(rcos(\theta),rsin(\theta),\theta)$ e $S$ l'immagine di $\varphi$.
(a) Mostrare che $S$ è una superficie e $\varphi$ è una sua parametrizzazione.
(b) Calcolare la prima e la seconda forma fondamentale associata alla parametrizzazione data.
(c) Calcolare la curvatura gaussiana di $S$ in ogni suo punto.
Io ho fatto così:
(a) Mostriamo che $\varphi$ è una parametrizzazione: $\varphi$ è un omeomorfismo con la sua ...
Buonasera probabilmente quella che vi sto per fare è una domanda stupida, ma non riesco a capire perché se le colonne della matrice associata ad un applicazione lineare sono indipendenti allora le immagini calcolate sui vettori della base di partenza sono indipendenti tra di loro. Nella matrice associata io metto le coordinate dell’immagine sulla base di partenza rispetto alla base di arrivo. Questo ragionamento a me torna solo nel caso in cui la base di arrivo sia la base canonica, ma ho visto ...
Buongiorno a tutti, vorrei proporvi un esercizio che non riesco ben a capire come risolvere.
Ringrazio anticipatamente chi volesse aiutarmi.
Considera il sottospazio W = {$x_1$ + $2x_2$ + $3x_3$ + $4x_4$ + $5_5$ = 0} di $CC^3$.
Determina 3 sottospazi A,B,C $sub$ W, tutti di dimensione almeno 1, tali che W = A ⊕ B ⊕ C.
Sia $c>1$ e sia $SsubeRR^3$ l'elissoide dato da $S={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2+(z^2/c^2)=1}$, trovare i punti di minima e massima curvatura gaussiana e calcolare i valori minimo e massimo della curvatura gaussiana.
Consideriamo $\varphi:(0,pi)xx(0,2pi)->S^2$ la parametrizzazione $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),c*cos(theta))$, allora otteniamo che la curvatura Gaussiana è $K(\varphi(theta,xi))=c^2/(cos^2(theta)+c^2sin^2(theta))$ e quindi il punto di massimo si quando $theta=pi/2$ con curvatura gaussiana uguale a $1$, mentre i punti di minimo si dovrebbero avere ...
E' vero che per ogni curva differenziabile $\gamma:(a,b)->S^2$ parametrizzata per lunghezza d'arco, si ha $||gamma''(t)||>=1$ per ogni $tin(a,b)$.
Presa una curva $gamma(t)$ in $S^2$ e presa $\varphi:(0,pi)xx(0,2pi)->S^2$ la parametrizzazione $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$ allora a meno di cambiare l'insieme $(0,pi)xx(0,2pi)$ possiamo suppore $Imgamma sube varphi((0,pi)xx(0,2pi))$, per cui $EEalpha(t):(a,b)->(0,pi)xx(0,2pi)$ curva differenziabile tale che $gamma(t)=varphi\circ alpha(t)=(sen(alpha_1(t))cos(alpha_2(t)),sen(alpha_1(t))sen(alpha_2(t)),cos(alpha_1(t)))$, affinchè $gamma$ sia parametrizzata per lunghezza ...
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 3 su campo K e sia ${v_1,v_2,v_3}$ una base di V. Sia $f:V->V$ l’unica applicazione lineare tale che:
$f(v_1)=v_2;<br />
f(v_2)=v_3;<br />
f(v_3)=v_1+v_2$.
Esistono basi A,P tali che la matrice associata ad $f$ è la matrice identità?
Io ho provato ad utilizzare la formula del cambio di base, ipotizzando l’esistenza di una base $A={a_1,a_2,a_3}$ e una base $P={p_1,p_2,p_3}$ che soddisfino le condizioni richieste scrivendo le matrici associate per utilizzare la ...
Sia r un sottospazio vettoriale di dimensione 1 di $R^3$. Sia $S={finHom(R^3,R^3)|f(r)subr}$. Dire se S sottospazio vettoriale di $Hom(R^3,R^3)$ e calcolarne la dimensione. Sono partito dalla definizione di sottospazio cercando di provare la chiusura dell’insieme rispetto alla somma e alla moltiplicazione per scalare. Ma già nel provare la chiusura rispetto alla somma mi trovo in difficoltà: consideriamo $f,g in S$ dobbiamo verificare che $f+g in S$ ma $f+g in S, se (f+g)(r)sub r$
Ma dato ...
Sia $S$ una superficie e $p inS$ un punto di curvatura gaussiana nulla. Possono esistere due curve $gamma_1, gamma_2 : (a,b)->S$ con $gamma_i(0)=p$ e parametrizzate per lunghezza d’arco aventi curvature normali di segno opposto al tempo $t=0$?
Pensavo al toro, basta prendere una curva che si trova nella parte in cui il toro ha curvatura positiva e l'altra curva che si trova nella parte in cui il toro ha curva negativa (ed entrambe si toccano nel punto di curvatura ...
Salve ragazzi sto avendo un po' di difficoltà nella lettura di questo esercizio svolto dalla mia professoressa.
Sia il piano affine numerico $A_2(\RR)-=\RR^2$. Sia $R(O,B)$ riferimento affine standard con $O=(0,0), B={e_1,e_2} , e_1=(1,0) , e_2=(0,1)$
e sia $R'(O',B')$ riferimento affine con $O'=(1,2), B'={e'_1,e'_2} , e'_1=(1,-1) , e'_2=(1,0)$
Determinare le equazioni del cambiamento di riferimento da $R$ a $R'$.
Risoluzione
La eq del cambiamento di riferimento è $Y=AX+C$ dove $A=M_(B',B)$.
Sia ...
E' vero che, per ogni diffeomorfismo $f:S->S$ tra una superficie e sè stessa e per ogni coppia di curve regolari $gamma_1,gamma_2:(a,b)->S$ tangenti tra loro in un punto $p$, si ha che le curve $f\circgamma_1$ e $f\circgamma_2$ sono tangenti tra loro nel punto $f(p)$?
Ho considerato $S=(0,+infty)^2$ e $f(x,y)=(x^2,y^2)$ come diffeomorfismo, $gamma_1=(cos(t),sen(t))$ $gamma_2=(1,t)$ con $tin(-pi/2,pi/2)$ si ha che $gamma_1$ e $gamma_2$ sono tangenti in ...
Qualcuno è in grado di trovare l'altezza di questo triangolo equilatero?
Ci ho provato in tutti i modi, riesco a impostare sistemi di equazioni indipendenti, tante equazioni quante incognite, ma il calcolo è proibitivo (formulone enormi).
La soluzione, trovata con metodi numerici, la conosco: è 441.
Immagino ci sia qualche trucchetto per trovarla senza dover affrontare calcoli disumani, qualche proprietà che mi sfugge.
Help please?
Sia $S$ l’insieme dei punti $(x,y,z)inRR^3$ che soddisfano l’equazione $x^3+y^2+z^2=1$. Calcolare le curvature principali e la curvatura gaussiana nei punti $p_1=(1,0,0)$, $p_2=(0,1,0)$ e $p_3=(0,0,1)$.
Non so bene come fare dato che sono abituato a trovare queste due cose tramite parametrizzazioni dato che basta studiare le rispettive derivate parziali di una tale parametrizzazione... Sicuramente una volta trovate le curvature principali basta moltiplicarle per ...
Salve sono nuovo in questo forum, volevo chiedere una mano avendo qualche difficolta nel seguente esercizio
Data la conica C: x^2+y^2-4x+6y=0 scrivere l'equazione della tangente a C nel suo punto di massima distanza dall'origine. ho trovato la circ = (-1,-2) e il raggio che è uguale a radice di 5, tramite la formula x-0/2=-1 e
y-0/2=-2 ho trovato p (-2,-4), sinceramente non so come continuare per trovare l'eq, il mio professore ha scritto solo i risultati senza passaggi trovando 0C -x=-4/2 ...
Buongiorno, avrei bisogno del vostro aiuto per chiarire qualche dubbio sul cambio di coordinate:
Supponiamo che il nuovo sistema di coordinate dipenda dal primo nel modo seguente:
$u_1=u_1(2x-y-z)$
$u_2=u_2(x+y+2z)$
$u_3=u_3(-x+y-3z)$
da cui per passare dal nuovo al vecchio riferimento:
$x=x(5/13u_1+4/13u_2+1/13u_3)$
$y=y(-1/13u_1+7/13u_2+5/13u_3)$
$z=z(-2/13u_1+1/13u_2-3/13u_3)$
Come si determinano analiticamente le linee coordinate nel nuovo sistema $u_1, u_2, u_3$ ?.
grazie !!!
Sono un neofita della geometria e vi tedio con una richiesta di chiarificazione. Non riesco a capire intuitivamente il significato e l'utilità degli spazi affini. Mi è abbastanza chiara la definizione (ipersemplificando, si tratta di spazi vettoriali senza l'origine) , ma non capisco come da questa definizione possa seguire l'importanza di questi spazi. Mi potete aiutare?
Buongiorno ragazzi,
Se ho una quadrica non a centro, come ad esempio un paraboloide, come determino gli assi e i piani principali?
Sia $X$ una varietà differenziabile e $S \subset X$ un sottoinsieme tale che per ogni $x \in S$ esiste carta $(U,\phi)$ di $X$ intorno ad $x$ tale che $\phi(S \cap U)=\phi(U) \cap \mathbb{R}^k$ dove identifichiamo $\mathbb{R}^k$ con un qualsiasi sottospazio coordinato affine $k$ dimensionale. Se chiamiamo $\pi:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ la proiezione sulle prime $k$ coordinate per quale motivo se dotiamo $S$ della topologia ...
Ciao a tutti,
frequento questo forum da autodidatta della matematica, con tante lacune ma anche tanta voglia di imparare.
Volevo chiedervi un consiglio. Mi sono avventurato nella lettura di Geometria del professor Sernesi (volume 1). Il testo mi affascina per il suo rigore ma lo trovo davvero ostico in molti passaggi. Devo spesso sbirciare su wikipedia per mettere a fuoco certe definizioni e molta roba (troppa?) continua a sfuggirmi.
Ho letto un paio di testi di Algebra Lineare, lo Schlesinger ...
Buongiorno.
Siamo a R^3. Dati due vettori su un piano, mi è facile costruire il proiettore che proietta sul piano e un proiettore diciamo parallelo, che proietta normalmente. Basta togliere dal primo la matrice identità 3x3.
Scusate la domanda da ignorante: nel disegno, quando si fanno le proiezioni ortogonali si proietta su tre piani, dunque qual'è il tezo proiettore perpendicolare agli altri due?
Per meglio dire, dovrebbero essere infiniti, ne vorrei scegliere due ortogonali, se uno di ...
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