Quesito su determinante

[oleg.fresi]

Buon giorno. Ho questo dubbio: per tre punti non allineati passa uno e un solo piano che si può ricavare con questo determinante: $|(x-x_1, y-y_1, z-z_1),(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1),(x_3-x_1, y_3-y1, z_3-z_1)|=0$ e fin qui ci sono.
Il libro che uso dice che questo determinante è equivalente a questo:
$|(x, y, z, 1),(x_1, y_1, z_1, 1),(x_2,y_2,z_2,1),(x_3,y_3,z_3,1)| = 0$.
Io aldilà di svilupparli ed effettivamente vedere che fanno 0, non capisco la ragione per cui da uno si debba vedere l'altro e che utilità abbia la seconda. Sapreste spiegarmelo?

[megas_archon]

Segue dalla maniera di rappresentare i punti dello spazio affine dato un riferimento, e da maneggi elementari del secondo determinante rispetto a sottrazione di colonne consecutive. Ogni sottospazio affine è dato come un punto di passaggio + un sottospazio lineare -la condizione di appartenenza al quale è determinata dalla dipendenza lineare del generico punto insieme ai generatori del sottospazio-.

[j18eos]

Un modo immediato per verificare che questi determinanti sono uguali consiste nel sottrarre la prima riga a tutte le altre, e poi sviluppare con la regola di Laplace lungo l'ultima colonna!

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Perfetto, ora mi è chiaro, grazie mille!