Problema con fascio di piani

[oleg.fresi]

Ho questo esercizio: determinare i piani contenenti la retta r: ${\(x-3=0),(2y-z+1=0):}$ che formano un angolo di $pi/4$ con il piano $pi: y-z=0$.

Io ho pensato di scrivere il fascio per la retta come $h(x-3)+k(2y-z+1)=0$. La normale alla retta scritta sopra è $n_r(0,1,2)$ e la normale al piano $pi$ è $n_(pi)=(0,1,-1)$. Ma come impongo che formi l'angolo di $pi/4$.
Vi chiedo se mi potete suggerire qualcosa

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

"ZfreS":
L'angolo \(0\le\alpha\le\pi\) tra due vettori non nulli è tale che \(\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos\alpha\).

Ok, ma a $pi/4$ il coseno vale $sqrt(2)/2$, ma da ciò cosa ottengo? Non ho valori parametrici da ricavare

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Scusami, ma continuo a non capire. Il vettore $u$ non è $n_(pi)$ ? In che modo dovrebbe dipendere da $h$ e $k$?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ok, forse ho capito. La normale al fascio dei piani dovrebbe essere, in funzione di h e k il vettore $(h, 2k, -k)$.
Il problema è che devo trovare sia h che k, ma ho solo l'equazione del prodotto scalare

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ok, allora così facendo ho trovato che $h=+-2k$ da cui derivano due fasci ovvero
$2k(x-3)+k(2y-z+1)=0$ e $-2k(x-3)+k(2y-z+1)=0$. Supposto $k!=0$ si potrebbe anche dividere per k, ma così verrebbe un po a mancare il senso del fascio

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ti ringrazio tantissimo per l'aiuto, sei stato gentilissimo a farmi vedere tutti i passaggi fino alla fine. Finalmente mi è chiaro l'esercizio.