Problema con sfera e piano tangente
Ho questo esercizio: determinare l'equazione dei piani tangenti alla sfera $S: x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ che contengono la retta $r: \{(x= 3 + t),(y = 1),(z = t):}$ con $t in RR$.
Ho difficoltà a capire come risolverlo, anche se ho parecchi dati, in questo caso non so bene come sfruttarli. Ho pensato di trovare il vettore $CP$ dato che conosco il centro, e imporre a zero il prodotto scalare tra $CP$ e il direttore della retta, ma poi non ho abbastanza informazioni per scrivere il fascio di piani.
Vi chiedo gentilmente aiuto per questo problema.
Ho difficoltà a capire come risolverlo, anche se ho parecchi dati, in questo caso non so bene come sfruttarli. Ho pensato di trovare il vettore $CP$ dato che conosco il centro, e imporre a zero il prodotto scalare tra $CP$ e il direttore della retta, ma poi non ho abbastanza informazioni per scrivere il fascio di piani.
Vi chiedo gentilmente aiuto per questo problema.
Risposte
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Dunque, la retta r la posso passare in equazione cartesiana, $r:\{(x-z-3=0),(y-1=0):}$ e di conseguenza il fascio di piani diventa: $lamda_1(x-z-3)+lambda_2(y-1)=0$ con $(lambda_1, lambda_2)!=(0,0)$. Fin qui è corretto?
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Beh, allora il vettore normale al piano dovrebbe essere $(1,0,1)$, mentre l'altro vettore che possa centrare qualcosa è $CP$
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Ok, quindi so che $C=(1,-2,-1)$ e quindi il vettore $P-C$ avrà componenti $(x_p-1, y_p+2, z_p+1)$ e questo sarà proporzionale a $n=(1,0,1)$, quindi $(1,0,1) = lambda(x_p-1, y_p+2, z_p+1)$
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Scusami, per trovare il vettore ortogonale alla retta, devo fare il prodotto vettoriale dei vettori che hanno come componenti i coefficienti delle x,y,z delle equazioni della retta, perché dici che è parallelo?
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Ah, ora ho capito: il vettore normale al piano è $n=(h, k, -h)$ che deve essere proporzionale a $PC$, ovvero
$(h, k, -h) = lambda(x_p-1, y_p+2, z_p+1)$ con $lambda != 0$.
$(h, k, -h) = lambda(x_p-1, y_p+2, z_p+1)$ con $lambda != 0$.
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Ok, facendo come dici, trovo prima $x_p, y_p, z_p $ in funzione di di $h, k, lambda$ :
$\{(x_p = (h+lambda)/lambda), (y_p=(k-2lambda)/lambda), (z_p= (-h-lambda)/lambda):}$
Poi impongo il passaggio per la sfera e ottengo l'equazione:
$2h^2+2k^2-10lambda^2 = 0$
Poi impongo il passaggio per il piano e ottengo, posto $lambda != 0$:
$2h^2-hlambda+k^2-3klambda=0$.
Mi manca ancora una condizione per determinare $h, k, lambda$. Cosa sto dimenticando?
$\{(x_p = (h+lambda)/lambda), (y_p=(k-2lambda)/lambda), (z_p= (-h-lambda)/lambda):}$
Poi impongo il passaggio per la sfera e ottengo l'equazione:
$2h^2+2k^2-10lambda^2 = 0$
Poi impongo il passaggio per il piano e ottengo, posto $lambda != 0$:
$2h^2-hlambda+k^2-3klambda=0$.
Mi manca ancora una condizione per determinare $h, k, lambda$. Cosa sto dimenticando?
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Ok, ho capito, se non sbaglio i conti, dovrebbe venire $h = (9sqrt(19)lambda^2)/19$ e
$k = lambdasqrt((171-lambda^2)/19)$
$k = lambdasqrt((171-lambda^2)/19)$
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Grazie, evidentemente ho fatto errori di calcolo con una procedura che mi ha complicato la vita, ora trovati h e k si sostituiscono nell'equazione del fascio di piani, in cui rimane il parametro $lambda$: $18/19lambda(x-z-3)+51/19lambda(y-1)=0$ e sempre supponendo $lambda!=0$ si ottiene $18x+51y-18z-105=0$.
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Bello, cosa hai usato per il disegno?
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Perfetto, grazie!
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