Ker e Im di un Omomorfismo
Buonasera,
non riesco a concludere la risoluzione dell'esercizio qui riportato:
$ varphi : R^3 -> R^3 $
$ varphi (x,y,z)=(2x-y+z,x+2y-3z,x-3y+4z) $
Determinare una base di Ker e Im.
Per il Ker ho messo le tre condizioni a sistema trovando le soluzioni $y=7/5z$ e $x=z/5$, poi non so più andare avanti...un vettore sarebbe ($z/5,(7z)/5,z$) che è semplificabile come (1,7,5)?
Per quanto riguarda Im invece mi blocco alla partenza.
Come posso proseguire?
non riesco a concludere la risoluzione dell'esercizio qui riportato:
$ varphi : R^3 -> R^3 $
$ varphi (x,y,z)=(2x-y+z,x+2y-3z,x-3y+4z) $
Determinare una base di Ker e Im.
Per il Ker ho messo le tre condizioni a sistema trovando le soluzioni $y=7/5z$ e $x=z/5$, poi non so più andare avanti...un vettore sarebbe ($z/5,(7z)/5,z$) che è semplificabile come (1,7,5)?
Per quanto riguarda Im invece mi blocco alla partenza.
Come posso proseguire?
Risposte
Ciao Llep,
Benvenuto sul forum!
Lo riscrivo meglio per averlo sott'occhio:
$\varphi : \RR^3 \rightarrow \RR^3$
$\varphi(x, y, z) = (2x-y+z,x+2y-3z,x-3y+4z) $
Sì, però ti conviene assumere come parametro $x = t $ e trovi più facilmente $(t, 7t, 5t) = t(1, 7, 5) $
Dunque una base del nucleo è $(1, 7, 5) $ e $ dim[\text{Ker}(\varphi)] = 1 $
Per la dimensione e la base dell'immagine scriviamo la matrice associata a $\varphi $ rispetto alla base canonica di $\RR^3 $
Tale matrice, che indichiamo con $A_{\varphi}$, ha per colonne le immagini tramite $\varphi $ dei vettori
$ \mathbf{i} = (1, 0, 0) $, $ \mathbf{j} = (0, 1, 0) $, $ \mathbf{k} = (0, 0, 1) $:
[xdom="j18eos"]Testo oscurato per dare la possibilità all'OP di ragionare.[/xdom]
[hide="j18eos"]$\varphi(1, 0, 0) = (2, 1, 1) $
$\varphi(0, 1, 0) = (- 1, 2, - 3) $
$\varphi(0, 0, 1) = (1, - 3, 4) $
Quindi si ha:
$A_{\varphi}= [(2,- 1,1),(1,2,- 3),(1,- 3,4)] $
Dato che sottraendo l'opposto dell'ultima riga alla seconda si ottiene la prima riga, si ha $\text{det} A_{\varphi}= 0 $ e il minore associato alla sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna è non nullo, una base di $ \text{Im}(\varphi) $ è costituita dalle prime due colonne della matrice $A_{\varphi}$ e si ha $ dim[\text{Im}(\varphi)] = 2 $[/hide]
Benvenuto sul forum!
Lo riscrivo meglio per averlo sott'occhio:
$\varphi : \RR^3 \rightarrow \RR^3$
$\varphi(x, y, z) = (2x-y+z,x+2y-3z,x-3y+4z) $
"Llep":
un vettore sarebbe $(z/5,7z/5,z)$ che è semplificabile come (1,7,5)?
Sì, però ti conviene assumere come parametro $x = t $ e trovi più facilmente $(t, 7t, 5t) = t(1, 7, 5) $
Dunque una base del nucleo è $(1, 7, 5) $ e $ dim[\text{Ker}(\varphi)] = 1 $
Per la dimensione e la base dell'immagine scriviamo la matrice associata a $\varphi $ rispetto alla base canonica di $\RR^3 $
Tale matrice, che indichiamo con $A_{\varphi}$, ha per colonne le immagini tramite $\varphi $ dei vettori
$ \mathbf{i} = (1, 0, 0) $, $ \mathbf{j} = (0, 1, 0) $, $ \mathbf{k} = (0, 0, 1) $:
[xdom="j18eos"]Testo oscurato per dare la possibilità all'OP di ragionare.[/xdom]
[hide="j18eos"]$\varphi(1, 0, 0) = (2, 1, 1) $
$\varphi(0, 1, 0) = (- 1, 2, - 3) $
$\varphi(0, 0, 1) = (1, - 3, 4) $
Quindi si ha:
$A_{\varphi}= [(2,- 1,1),(1,2,- 3),(1,- 3,4)] $
Dato che sottraendo l'opposto dell'ultima riga alla seconda si ottiene la prima riga, si ha $\text{det} A_{\varphi}= 0 $ e il minore associato alla sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna è non nullo, una base di $ \text{Im}(\varphi) $ è costituita dalle prime due colonne della matrice $A_{\varphi}$ e si ha $ dim[\text{Im}(\varphi)] = 2 $[/hide]
Ok, grazie...allora provo a procedere con il ragionamento.
La matrice la scrivo così
\(A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)
e ho notato che le righe sono correlate dalla relazione: I = II + III quindi svolgendo queste semplificazioni arrivo ad avere una riga di 0.
Ma mi blocco al questo punto:
\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)
Mi sembra di capire che dovrei trovare solo un vettore per definire la base ma non saprei scegliere...
La matrice la scrivo così
\(A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)
e ho notato che le righe sono correlate dalla relazione: I = II + III quindi svolgendo queste semplificazioni arrivo ad avere una riga di 0.
Ma mi blocco al questo punto:
\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)
Mi sembra di capire che dovrei trovare solo un vettore per definire la base ma non saprei scegliere...
Di sicuro sai che la matrice ha rango \(2\): cosa puoi affermare?
Ancóra, poiché hai inserito i vettori immagine per colonna, devi ragionare per colonne!, ovvero: con quale mossa di Gauss puoi "eliminare" una colonna? ...e sei sicuro che ti serva una tale mossa?
Ancóra, poiché hai inserito i vettori immagine per colonna, devi ragionare per colonne!, ovvero: con quale mossa di Gauss puoi "eliminare" una colonna? ...e sei sicuro che ti serva una tale mossa?
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