Proiezione ortogonale su un sottospazio affine

[oleg.fresi]

Buona sera. Ho un problema a capire questo esercizio: si consideri nello spazio $E^4$ il sottospazio
S:$\{(2x_2+x_4=13),(x_1+x_2-x_3=1):}$. Determinare la proiezione ortogonale del punto $Q=(1,0,0,2)$ sul sottospazio S.

Non capisco proprio cosa intenda con proiezione del punto. Io so come trovare la proiezione di un vettore su un sottospazio(vettoriale), ma questo mi manca proprio.
Mi sapreste indicare come partire ed eventualmente che formula utilizzare?

[Quinzio]

Trovi lo spazio ortogonale a $S$, che in questo caso e' formato dallo span dei vettori $(0, 2, 0, 1)$ e $(1, 1, -1, 0)$.
La proiezione $Q'$ sara' il punto $Q$ piu' un certo vettore dello spazio ortogonale.
Quindi scriviamo $Q' = Q + (0, 2, 0, 1)t + (1, 1, -1, 0)s = (1+s, 2t+s, -s, 2+t)$.
Poi sostituiamo le coordinate di $Q' $ in $S$

$ \{(2(2t+s)+(2+t)=13),(1+s+2t+s+s=1):} $

E' un sistema da risolvere , si trovano $t$ e $s$ e si sostituiscono in $Q'$.

[oleg.fresi]

Ti ringrazio della risposta, ma vorrei capire bene l'aspetto teorico. Vorrei azzardare un'intuizione. Se Lo spazio fosse lo spazio euclideo 3-dimensionale e il sottospazio un piano, allora lo spazio ortogonale sarà una retta, che cade perpendicolarmente sul piano e di questa retta conosciamo un punto di passaggio Q e il vettore direttore è proprio il vettore normale al piano. Spero la mia idea sia giusta, che sarebbe una semplificazione del problema originale.
Inoltre vorrei capire bene, perché si sostituiscono le coordinate di quel vettore che ha per componenti termini in t e s, nelle equazioni del sottospazio. Non mi è chiaro cosa si stia facendo, e soprattutto cosa rappresenti quel sottospazio visto come intersezione di equazioni che anch'esse non si sa cosa rappresentino.