Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Potreste aiutarmi con questo sciocco dubbio?
Stavo facendo un esercizio in $E_2(\RR)$ nel riferimento standard $R(0,B)$. Ho due rette definite da un punto ciascuna e dalla relativa giacitura. Mi si chiede di calcolare l'angolo convesso tra le rette orientate.
La formula per calcolare il coseno dell'angolo è $cos(\theta)=g(v,w)/(||v||||w||)$ dove $g$ è il prodotto scalare standard e $v$ e $w$ sono i vettori relativi alle giaciture. L'angolo che così ...
Consideriamo la traslazione $L_b(x)=x+b$ da $\mathbb R^n$ in $\mathbb R^n$. Per quale motivo il differenziale $d_x L_b = <br />
\ mathcal{id}_{\mathbb R^n}$? Mi sembra di capire che stiamo affermando che $d_x L_b: T_x \mathbb R^n \rightarrow T_{L_b (x)} \mathbb R^n$ sia proprio la mappa identità da $ \mathbb R^n$ in $\mathbb R^n$ avendo identificato canonicamente $T_x \mathbb R^n$ con $ \mathbb R^n$ come faccio a verificarlo con i conti? Se considero una derivazione $v \in T_x \mathbb R^n$ allora $v= a_1 \frac {\partial}{\partial x_1}|_x$ ...
Buongiorno,
vorrei porvi un quesito a risposta multipla sulla somma diretta:
TESTO:
Sia $V=U+W$ (scusatemi ma non capisco come si scrive il simbolo di "somma diretta"). Allora sicuramente:
A) $U$ è sottospazio di $V$
B) $U+W$ (stavolta intendo somma semplice, non diretta) è sottospazio proprio di $V$
C) $UnnW$ è sottospazio banale di $V$
D) $UuuW=V$
Io credo sia la C, però non capisco come ...
Buon giorno. Ho questo esercizio: data la sfera $x^2+y^2+z^2-3x+2y-z=3$ e la retta $r:\{(x=3t),(y=14),(z=-t):}$ trovare i piani tangenti alla sfera e passanti per la retta r. Per risolvere, intanto ho trovato raggio e centro della sfera: $R=1/2$ e $C=(3/2,-1,-1/2)$. Poi ho riscritto la retta in forma cartesiana come $\{(x-3z=0),(y+14=0):}$ e impongo il fascio di piani passanti per la retta: $h(x-3z)+k(y+14)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$. Ora, impongo la distanza tra il piano e e il centro della sfera che dovendo ...
Buongiorno a tutti,
vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto per risolvere il seguente quesito.
Assegnata una funzione lineare f (endomorfismo) in R3, di cui chiaramente è nota la matrice associata A, si chiede di determinare un autovettore ed il relativo autovalore dell'applicazione composta f o f o f o f o f
Bene, so che in generale: A(g o f) = Ag x Af
Ma possibile che in questo caso debba fare 4 volte il prodotto della matrice A per se stessa, per poi determinare autovalori e ...
Buonasera.
Ho una domanda da porre riguardo gli autovalori di un'applicazione composta:
so che, se "elevo alla $n$" un'applicazione lineare essa ammetterà $\lambda^n$ tra i suoi autovalori e, se moltiplico per $t$ un'applicazione lineare essa ammetterà $t*\lambda$ tra i suoi autovalori. Giusto?
Nel caso però in cui io effettui la composizione di due applicazioni lineari, c'è modo di determinare gli autovalori risultanti a partire dalla conoscenza di ...
Ciao, mi sono trovato davanti ad un esercizio che data una matrice jordanizzabile φ di K**5, dopo avermi chiesto di trovare la sua forma di jordan, polinomio caratteristico etc. mi chiede:
"Esistono sottospazi W di K**5 tali che φ**2 ristretta a W sia diagonalizzabile? Se sì determinarne uno di dimensione massima."
Cosa dovrei fare, ho provato a calcolare φ**2 e il suo polinomio minimo, ma poi comunque non so come continuare
Buonasera,
la domanda che vorrei porre è molto generale:
Dato un sottospazio affine $S$ di $dim(S)=n<oo$ di giacitura $U$ e sia $p inS$ un suo punto;
Esso scrive in forma parametrica come $S=p+sum_{i=1}^n t(i)*u(i)$ con $t1,...,tninRR$.
Ora, se voglio ottenere una rappresentazione algebrica di questo sottospazio (senza tenere conto del fatto che in alcuni casi esistono metodi più efficenti per farlo) è sempre possibile procedere definendo $X=[[x],[y],[z],[...],[x(n)]]$ e ...
Buon giorno. Ho un problema con questo esercizio sull'iperbole: nel piano euclideo con riferimento cartesiano Oxy si consideri l’iperbole passante per il punto $A(−1,−2)$, avente un asse di simmetria coincidente con la retta
$r : x−2y+1=0$ e un asintoto coincidente con la retta $y−1=0$.
Determinare l’equazione dell’altro asintoto, del centro, dell’altro asse di simmetria e l’equazione cartesiana dell’iperbole nel riferimento cartesiano Oxy. Determinare una forma canonica ...
Buona sera. Studiando la teoria riguardo la rappresentazione di sottospazi affini, trovo un problema, il testo è il seguente: si consideri uno spazio affine n-dimensionale $(A,V^n,pi)$ nel quale sia fissato un riferimento affine $R=(O,B)$ con $OinA$ e $B={e_1,...,e_n}$. Sia $S=Q+W$ un sottospazio affine di A avente dimensione s. Supponiamo $Q=(q1,...,q_n)$ nel riferimento R e sia ${w_1,...,w_s}$ una base di W dove $w_i=\sum_{k=1}^nw_(ik)e_k$. Il testo continua dopo, ...
Sia $ S={ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3| z=y^2-3x^2 } $
1) Determinare la curvatura normale al tempo $t=0$ delle curve parametrizzate per lunghezza d'arco $ \gamma: (-1,1)->S$ con $\gamma(0)=(0,0,0)$
2) Trovare due curve regolari $\gamma_1, \gamma_2$ tali che le loro riparametrizzazioni per lunghezza d'arco abbiano la curvatura normale minima e massima
Devo utilizzare la formula di Eulero, cioè la curvatura normale di una curva sulla superficie è $k_1\cos^2(\theta)+k_2\sin^2(\theta)$ o la formula $<N((0,0,0)),\gamma''(0)>$ dove $N$ è ...
1) Trova un rivestimento connesso di $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ con almeno due fogli.
2) Quanti sono i rivestimenti connessi di $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, a meno di isomorfismo?
3) Scegliamo $x_0$ in $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$. Quanti sono i rivestimenti con punto base $p:(\tilde X, \tilde x_0) \to (X,x_0)$, a meno di isomorfismo, che preservano il punto base?
Ho svolto parte dell'esercizio:
Possiamo considerare la proiezione al quoziente $\pi: S^2 \to \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, che è un rivestimento a due fogli, in modo che $\pi \times \pi: S^2 \times S^2 \to \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ sia ...
Buon giorno. Avrei questo problema: nel piano euclideo con riferimento cartesiano $R = Oxy$ si consideri la parabola passante per il punto $P =(−5,8)$ ,avente vertice $V =(0,3)$ e asse la retta $r: 2x−y+3=0$.
Determinare una forma canonica della parabola e una rototraslazione che la riduce in tale forma canonica.
Per questo esercizio non ho proprio idea di quale concetto utilizzare dalla teoria delle coniche. Come imposto l'equazione di una parabola non in forma ...
Date una terna di punti allineati ABC (B interno AC) su di una retta n e data una circonferenza alfa di centro D e raggio r non secante n
si vuole determinare per via grafica (se possibile) il triangolo EFG inscritto in alfa (dovrebbe essere unico) tale che risultino i seguenti allineamenti: AEF BEG CFG.
dovrebbe rientrarci in qualche modo il teorema di Menelao ma non trovo come risolvere il questito. Grazie per l’eventuale aiuto.
Cordialmente Giovanni
Esibire un esempio di omeomorfismo differenziabile da un aperto non vuoto di $RR^2$ a un aperto della sfera $S^2$ che non sia una parametrizzazione.
Serve trovare un omeomorfismo differenziabile che però non abbia differenziale iniettivo, solo che tutti gli esempi che ho trovato lo sono... qualcuno mi riesce a dare una mano a trovarlo? Grazie.
Ciao,
volevo chiedervi un aiuto sulla parametrizzazione per lunghezza d'arco, formalmente l'ho capita però c'è una frase del prof che mi lascia in dubbio di non aver afferrato del tutto il concetto. Egli dice che tale parametrizzazione vuol dire che tra tutti i moti possibili lungo una traiettoria siamo interessati a quelli con velocità 1 (costante). Però il mio dubbio è il seguente: la velocità implica uno spazio nel tempo quindi parametrizzazione temporale, qui parametrizzo con uno spazio ...
Ciao a tutti, ho un dubbio su una affermazione del mio professore
Siano dati n vettori ${v_1, . . . , v_n}$ in $RR^n$. Consideriamo il parallelogramma
generato da essi. Usando il prodotto scalare standard, possiamo definire il
volume di tale figura. A meno di segno, tale volume coincide con il determinante
della matrice avente come colonne i vettori dati. Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali che non modificano n e' il determinante (a parte forse
il segno) n e' il ...
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano nella comprensione di alcuni passaggi della seguente dimostrazione. Metto direttamente l'immagine, per evitare di scrivere tutto
Tralasciate il palese errore "$g:V->Vx\RR$" che è tutto tranne che una forma bilineare.
In geometria 1 avevo studiato già un teorema simile, dove però si considerava un vettore $v$ non isotropo e i sottospazi $<v>$ e $v^_|_$. Qui invece sfrutta una restrizione di ...
Ciao a tutti. Volevo chiedervi un aiuto su un cambio sdr come in figura.
Purtroppo non ho trovato la sezione geometria più adatta e non vorrei essere finito in quella più universitaria però penso vada bene comunque, in ogni caso provo a esporvi il problema.
voglio passare da x,y ->x'y' e credo di incasinarmi con i segni
Mi spiego:
Se io volessi legare la coordinata x e x' di D in O e O' farei questo ragionamento:
se a è la distanza nel riferimento $O$ tra O e ...
Sia $f :S^2->RR$ la funzione data da $f(x,y,z)=z^2$, calcolare il differenziale di $f$ in ogni punto.
Consideriamo la parametriazzazione $\varphi:(0,pi)xx(0,2pi)->S^2$ con $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$, allora $(del\varphi)/(deltheta)$ e $(del\varphi)/(delxi)$ è una base del piano tangente, per cui basta determinare i valori del differenziale su di essi.
Sia $p=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$, $gamma_1(t)=(sen(theta+t)cos(xi),sen(theta+t)sen(xi),cos(theta+t))$ tale che $gamma_1(0)=p$ e $gamma'_1(0)=(del\varphi)/(deltheta)$, $gamma_2(t)=(sen(theta)cos(xi+t),sen(theta)sen(xi+t),cos(theta))$ tale che $gamma_2(0)=p$ e $gamma'_2(0)=(del\varphi)/(delxi)$, ...
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