Categorie di spazi funzionali
Salve, volevo avere qualche informazione sugli spazi funzionali, mi spiego meglio.
Cominciando a studiare un po' di analisi funzionale mi sono imbattuto in molti tipi di spazi funzionali, o meglio, spazi vettoriali in cui è definita una topologia compatibile con le operazioni algebriche, ma di solito esempi di tali spazi hanno come elementi funzioni, per questo io mi riferisco ad essi come spazi funzionali.
Quello che volevo è un quadro generale delle varie tipologie di tali spazi, e le relative relazioni tra esse o almeno una referenza per guardarmele da solo.
Per esempio alcuni tipi di spazi che conosco (o di cui ho sentito parlare) sono gli spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi uniformemente convessi, riflessivi, spazi vettoriali topologici e alcuni altri...
Ad esempio so che uno spazio di Hilbert è anche uno spazio di Banach e che tutti questi spazi sono spazi vettoriali topologici.
Inoltre mi piacerebbe sapere per alcuni teoremi famosi dell'analisi funzionale in che ipotesi (minime possibili) valgono.
Cominciando a studiare un po' di analisi funzionale mi sono imbattuto in molti tipi di spazi funzionali, o meglio, spazi vettoriali in cui è definita una topologia compatibile con le operazioni algebriche, ma di solito esempi di tali spazi hanno come elementi funzioni, per questo io mi riferisco ad essi come spazi funzionali.
Quello che volevo è un quadro generale delle varie tipologie di tali spazi, e le relative relazioni tra esse o almeno una referenza per guardarmele da solo.
Per esempio alcuni tipi di spazi che conosco (o di cui ho sentito parlare) sono gli spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi uniformemente convessi, riflessivi, spazi vettoriali topologici e alcuni altri...
Ad esempio so che uno spazio di Hilbert è anche uno spazio di Banach e che tutti questi spazi sono spazi vettoriali topologici.
Inoltre mi piacerebbe sapere per alcuni teoremi famosi dell'analisi funzionale in che ipotesi (minime possibili) valgono.
Risposte
Tiro qualche parola: spazio vettoriale topologico è una nozione generale di spazio dove strutture topologica e lineare sono compatibili; di solito in Analisi Funzionale ci si limita a studiare spazi vettoriali normati (ove la topologia è indotta dalla norma). Più in particolare si studiano gli spazi di Banach, che sono sostanzialmente spazi vettoriali normati completi per successioni. Gli spazi di Hilbert che menzioni sono particolari spazi di Banach in cui viene introdotta della struttura ulteriore, mediante un prodotto scalare (che a sua volta induce la norma). Non tutti gli spazi di Banach sono anche spazi di Hilbert.
Altre proprietà che citi hanno a che fare con la struttura (geo)metrica (uniforme convessità) e con il rapporto tra un dato spazio e il suo biduale (riflessività). Le relazioni sono varie: uniforme convessità implica riflessività (Milman-Pettis), tutti gli spazi di Hilbert sono riflessivi, uniforme convessità implica convessità stretta etc...
I teoremi base/classici dell'Analisi Funzionale (lineare) di solito si fanno per spazi di Banach: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, grafico chiuso, Banach-Alaoglu, Kakutani etc... le ipotesi minime le trovi su qualunque libro di Analisi Funzionale (tipo il Brezis).
Altre proprietà che citi hanno a che fare con la struttura (geo)metrica (uniforme convessità) e con il rapporto tra un dato spazio e il suo biduale (riflessività). Le relazioni sono varie: uniforme convessità implica riflessività (Milman-Pettis), tutti gli spazi di Hilbert sono riflessivi, uniforme convessità implica convessità stretta etc...
I teoremi base/classici dell'Analisi Funzionale (lineare) di solito si fanno per spazi di Banach: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, grafico chiuso, Banach-Alaoglu, Kakutani etc... le ipotesi minime le trovi su qualunque libro di Analisi Funzionale (tipo il Brezis).
Una precisazione.
Quelle che citi non sono categorie di spazi funzionali, ma categorie generali delle quali fanno parte alcuni spazi funzionali importanti.
Tanto per capirci, lo spazio \(C([a,b])\) (delle funzioni continue in $[a,b]$) è di Banach rispetto alla norma del massimo \(\| f\|_\infty := \max |f|\), è vettoriale normato con norma uniformemente convessa \(\| f\|_p := \int_a^b |f|^p\) (con $p>1$), è prehilbertiano rispetto al prodotto scalare \(\langle f,g\rangle := \int_a^b f\cdot g\) ; lo spazio $L^2(a,b)$ delle funzioni a quadrato sommabile è di Hilbert rispetto al prodotto scalare \(\langle f,g\rangle := \int_a^b f\cdot g\); lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(a,b)$ è di Banach rispetto alla sua norma naturale \(\| f\|_{1,p} := \int_a^b |f|^p + \int_a^b |f^\prime|^p \) (con $p>1$); lo spazio delle funzioni test regolari a supporto compatto $C_c^oo(RR)$ è vettoriale topologico, con la topologia indotta da una famiglia di seminorme...
Questi che ho citato sono gli spazi funzionali più importanti, perché vi ci trovi le soluzioni dei più comuni problemi dell'Analisi. Tuttavia, ci sono altri spazi più esotici, tipo gli spazi di Besov, quelli di Marcinkiewicz, quelli di Orlicz, quello delle funzioni a variazione limitata, etc...
Quelle che citi non sono categorie di spazi funzionali, ma categorie generali delle quali fanno parte alcuni spazi funzionali importanti.
Tanto per capirci, lo spazio \(C([a,b])\) (delle funzioni continue in $[a,b]$) è di Banach rispetto alla norma del massimo \(\| f\|_\infty := \max |f|\), è vettoriale normato con norma uniformemente convessa \(\| f\|_p := \int_a^b |f|^p\) (con $p>1$), è prehilbertiano rispetto al prodotto scalare \(\langle f,g\rangle := \int_a^b f\cdot g\) ; lo spazio $L^2(a,b)$ delle funzioni a quadrato sommabile è di Hilbert rispetto al prodotto scalare \(\langle f,g\rangle := \int_a^b f\cdot g\); lo spazio di Sobolev $W^{1,p}(a,b)$ è di Banach rispetto alla sua norma naturale \(\| f\|_{1,p} := \int_a^b |f|^p + \int_a^b |f^\prime|^p \) (con $p>1$); lo spazio delle funzioni test regolari a supporto compatto $C_c^oo(RR)$ è vettoriale topologico, con la topologia indotta da una famiglia di seminorme...
Questi che ho citato sono gli spazi funzionali più importanti, perché vi ci trovi le soluzioni dei più comuni problemi dell'Analisi. Tuttavia, ci sono altri spazi più esotici, tipo gli spazi di Besov, quelli di Marcinkiewicz, quelli di Orlicz, quello delle funzioni a variazione limitata, etc...
Non è nemmeno ovvio che formino delle categorie; devi dire anche quali sono le mappe tra due spazi di [inserire nome improbabile di analista moldavo] che consideri di volta in volta, e questo non è sempre definito/non è sempre unicamente determinato dagli oggetti/a volte persino non soddisfa tutti gli assiomi necessari.
Scusate se rispondo solo ora ma in questi giorni sono stato poco attivo nel forum, ma ora rispondo a tutti e 3:
Bello questo link.
Ecco ma per esempio, io so che il teorema della proiezione vale per gli spazi di Hilbert, ma anche per gli $L^p$, ma nessuno dei due tipi di spazi include l'altro, questo mi sembra un po' strano, non è che esiste una tipologia di spazi che include gli $L^p$ e gli spazi di Hilbert per cui vale il teorema della proiezione?
Ero consapevole di aver usato una imprecisione di linguaggio, ma io in genere queste tipologie di spazi me le immagino soprattutto come spazi di funzioni, per questo li chiamo spazi funzionali anche quando non lo sono (lo avevo anche scritto nel messaggio principale).
Grazie degli esempi, alcuni li conoscevo altri no.
Questi spazi per ora non mi interessano.
Ti dirò, all'inizio non mi ero nemmeno accorto di aver usato la parola "categoria", ma quando me ne sono accorto ero certo che saresti giunto fin nelle sezioni di analisi per dire qualcosa delle tue amate categorie
Ad ogni modo (anche se ancora non le capisco), sembrano cose interessanti.
Vi ringrazio tutti e 3 per queste risposte ricche di spunti.
"Delirium":
Tiro qualche parola: spazio vettoriale topologico è una nozione generale di spazio dove strutture topologica e lineare sono compatibili; di solito in Analisi Funzionale ci si limita a studiare spazi vettoriali normati (ove la topologia è indotta dalla norma). Più in particolare si studiano gli spazi di Banach, che sono sostanzialmente spazi vettoriali normati completi per successioni. Gli spazi di Hilbert che menzioni sono particolari spazi di Banach in cui viene introdotta della struttura ulteriore, mediante un prodotto scalare (che a sua volta induce la norma). Non tutti gli spazi di Banach sono anche spazi di Hilbert.
Bello questo link.
Altre proprietà che citi hanno a che fare con la struttura (geo)metrica (uniforme convessità) e con il rapporto tra un dato spazio e il suo biduale (riflessività). Le relazioni sono varie: uniforme convessità implica riflessività (Milman-Pettis), tutti gli spazi di Hilbert sono riflessivi, uniforme convessità implica convessità stretta etc...
I teoremi base/classici dell'Analisi Funzionale (lineare) di solito si fanno per spazi di Banach: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, grafico chiuso, Banach-Alaoglu, Kakutani etc... le ipotesi minime le trovi su qualunque libro di Analisi Funzionale (tipo il Brezis).
Ecco ma per esempio, io so che il teorema della proiezione vale per gli spazi di Hilbert, ma anche per gli $L^p$, ma nessuno dei due tipi di spazi include l'altro, questo mi sembra un po' strano, non è che esiste una tipologia di spazi che include gli $L^p$ e gli spazi di Hilbert per cui vale il teorema della proiezione?
"gugo82":
Una precisazione.
Quelle che citi non sono categorie di spazi funzionali, ma categorie generali delle quali fanno parte alcuni spazi funzionali importanti.
Ero consapevole di aver usato una imprecisione di linguaggio, ma io in genere queste tipologie di spazi me le immagino soprattutto come spazi di funzioni, per questo li chiamo spazi funzionali anche quando non lo sono (lo avevo anche scritto nel messaggio principale).
Tanto per capirci, lo spazio $ C([a,b]) $ (delle funzioni continue in $ [a,b] $) è di Banach rispetto alla norma del massimo \( \| f\|_\infty := \max |f| \), è vettoriale normato con norma uniformemente convessa \( \| f\|_p := \int_a^b |f|^p \) (con $ p>1 $), è prehilbertiano rispetto al prodotto scalare \( \langle f,g\rangle := \int_a^b f\cdot g \) ; lo spazio $ L^2(a,b) $ delle funzioni a quadrato sommabile è di Hilbert rispetto al prodotto scalare \( \langle f,g\rangle := \int_a^b f\cdot g \); lo spazio di Sobolev $ W^{1,p}(a,b) $ è di Banach rispetto alla sua norma naturale \( \| f\|_{1,p} := \int_a^b |f|^p + \int_a^b |f^\prime|^p \) (con $ p>1 $); lo spazio delle funzioni test regolari a supporto compatto $ C_c^oo(RR) $ è vettoriale topologico, con la topologia indotta da una famiglia di seminorme...
Grazie degli esempi, alcuni li conoscevo altri no.
Questi che ho citato sono gli spazi funzionali più importanti, perché vi ci trovi le soluzioni dei più comuni problemi dell'Analisi. Tuttavia, ci sono altri spazi più esotici, tipo gli spazi di Besov, quelli di Marcinkiewicz, quelli di Orlicz, quello delle funzioni a variazione limitata, etc...
Questi spazi per ora non mi interessano.
"killing_buddha":
Non è nemmeno ovvio che formino delle categorie; devi dire anche quali sono le mappe tra due spazi di [inserire nome improbabile di analista moldavo] che consideri di volta in volta, e questo non è sempre definito/non è sempre unicamente determinato dagli oggetti/a volte persino non soddisfa tutti gli assiomi necessari.
Ti dirò, all'inizio non mi ero nemmeno accorto di aver usato la parola "categoria", ma quando me ne sono accorto ero certo che saresti giunto fin nelle sezioni di analisi per dire qualcosa delle tue amate categorie
Ad ogni modo (anche se ancora non le capisco), sembrano cose interessanti.
Vi ringrazio tutti e 3 per queste risposte ricche di spunti.
"otta96":
[...]Ecco ma per esempio, io so che il teorema della proiezione vale per gli spazi di Hilbert, ma anche per gli $L^p$, ma nessuno dei due tipi di spazi include l'altro, questo mi sembra un po' strano, non è che esiste una tipologia di spazi che include gli $L^p$ e gli spazi di Hilbert per cui vale il teorema della proiezione? [...]
Il teorema della proiezione vale in spazi di Banach riflessivi. Se vuoi unicità ti servono spazi di Banach uniformemente convessi. Gli spazi di Hilbert e gli \(L^p\) sono uniformemente convessi.
Ma anche $L^1$ e $L^\infty$ sono uniformemente convessi? Se non sbaglio no, e non sono nemmeno riflessivi.
"otta96":
Ma anche $L^1$ e $L^\infty$ sono uniformemente convessi? Se non sbaglio no, e non sono nemmeno riflessivi.
No, non sono riflessivi. Ho omesso \( 1 < p < \infty \) perche' in genere per \(p=1\) e \(p=\infty\) le cose tendono ad andare spesso male, e lo si considera come un "fatto noto". Sul problema della proiezione in questi due spazi c'e' questa pagina.
Mi puoi fare un esempio di spazio riflessivo ma non uniformemente convesso?
\(\mathbb{R}^2\) con la norma \( \| (x,y) \|_{\ell^1} = |x|+|y|\); e' ovviamente riflessivo (ha dimensione finita come spazio vettoriale), ma questa norma non e' uniformemente convessa (dimostralo). Nota che \(\mathbb{R}^2\) con la norma euclidea e' uniformemente convesso; questo ti suggerisce che l'essere (o meno) uniformemente convesso e' una proprieta' dello spazio inteso come spazio normato (e quindi legata alla norma).
"Delirium":
\(\mathbb{R}^2\) con la norma \( \| (x,y) \|_{\ell^1} = |x|+|y|\); e' ovviamente riflessivo (ha dimensione finita come spazio vettoriale), ma questa norma non e' uniformemente convessa (dimostralo). Nota che \(\mathbb{R}^2\) con la norma euclidea e' uniformemente convesso; questo ti suggerisce che l'essere (o meno) uniformemente convesso e' una proprieta' dello spazio inteso come spazio normato (e quindi legata alla norma).
Provo a dimostrarlo, dimmi se va bene (per favore): prendo $\epsilon=1,x_1=(1,0),x_2=(0,1)$, ha che $||x_1-x_2||=||(1,-1)||=2>=1=\epsilon$, ma $||(x_1+x_2)/2||=1$, quindi la disuguaglianza $||(x_1+x_2)/2||<1-\delta$ non può essere verificata per nessun $\delta>0$, quindi non è uniformemente convesso.
Ma quindi questo vuol dire tra 'altro che due norme, anche equivalenti, possono essere una uniformemente convessa e una no (nel senso lo spazio)? Questo mi stupisce abbastanza.
Inoltre questo sarebbe anche un controesempio al viceversa del teorema di Milman-Pettis che citavi in un post precedente vero?
"Delirium":
[quote="otta96"]Ma anche $L^1$ e $L^\infty$ sono uniformemente convessi? Se non sbaglio no, e non sono nemmeno riflessivi.
No, non sono riflessivi. Ho omesso \( 1 < p < \infty \) perche' in genere per \(p=1\) e \(p=\infty\) le cose tendono ad andare spesso male, e lo si considera come un "fatto noto".[/quote]
“Spesso” qui è da intendersi come “quando lo spazio di misura in cui sono definite le funzioni non ha un numero finito di punti e la misura è (quantomeno) decente”.
Infatti, quando lo spazio di misura ha cardinalità finita, $L^p$ coincide con un $RR^N$ con una $p$-norma pesata e perciò è riflessivo.
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