Aiuto: integrale con metodo dei residui
$ int_(0)^(2pi) (sin(mx)sin(nx))/(1-cos(x)) dx $, al variare di $ m,n in Z $
Qualche idea su come risolverlo?
Con la classica sostituzione $ z=e^(ix) $ si incontra qualche problemino nel calcolo dei residui.
Credo bisogni riscrivere il numeratore in una qualche forma più semplice.
Per esempio $ int_(0)^(2pi) (cos(nx))/(1-cos(x)) dx $ lo si risolve osservando che è la parte reale dell'integrale $ int_(0)^(2pi) (e^(i nx))/(1-cos(x)) dx $.
Qualche idea su come risolverlo?
Con la classica sostituzione $ z=e^(ix) $ si incontra qualche problemino nel calcolo dei residui.
Credo bisogni riscrivere il numeratore in una qualche forma più semplice.
Per esempio $ int_(0)^(2pi) (cos(nx))/(1-cos(x)) dx $ lo si risolve osservando che è la parte reale dell'integrale $ int_(0)^(2pi) (e^(i nx))/(1-cos(x)) dx $.
Risposte
Ciao GattoObeso,
Benvenuto sul forum!
... E complimenti per il nickname...
La butto lì... Forse potresti considerare che $ sin(mx) sin(nx) = 1/2 [cos[(m - n)x] - cos[(m + n)x] $ e spezzare l'integrale:
$ int_(0)^(2pi) (sin(mx)sin(nx))/(1-cos(x)) dx = 1/2 {int_(0)^(2pi) (cos[(m - n)x])/(1-cos(x)) dx - int_(0)^(2pi)(cos[(m + n)x])/(1-cos(x)) dx } $
Benvenuto sul forum!
... E complimenti per il nickname...
La butto lì... Forse potresti considerare che $ sin(mx) sin(nx) = 1/2 [cos[(m - n)x] - cos[(m + n)x] $ e spezzare l'integrale:
$ int_(0)^(2pi) (sin(mx)sin(nx))/(1-cos(x)) dx = 1/2 {int_(0)^(2pi) (cos[(m - n)x])/(1-cos(x)) dx - int_(0)^(2pi)(cos[(m + n)x])/(1-cos(x)) dx } $
Oh mio dio! Le formule di Werner che avevo completamente rimosso!
Credo sia decisamente il modo giusto per risolvere l'integrale, anche perché si riconduce all'esempio che avevo fatto.
Grazie mille!
Credo sia decisamente il modo giusto per risolvere l'integrale, anche perché si riconduce all'esempio che avevo fatto.
Grazie mille!
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