Chiarimenti distribuzione v.p.1/t e dimostrazione su delta di dirac
salve, sto studiando le distribuzioni da Metodi Matematici per L'ingegneria di Codegone e il medesimo di Barozzi più qualche appunto personale.
1) vorrei chiarire la questione riguardo la distribuzione $ $ : il funzionale generato è
$ int_(|t|<=r)(phi(t)-phi(0))/(t)dt $ quindi differisce dal funzionale generato da una qualsiasi funzione $ f in L'_(loc)( mathbb(R) ) $ per la presenza di $ phi(t)-phi(0) $ anzicchè solo di $ phi(t) $ per le funzioni localmente sommabili, e per l'intevallo di integrazione che non è tutto l'asse reale ma l'interavallo $ [-r,r] $ con $ r>0: s u pp.phi sube [-r,r] $.
dimostrata poi la finitezza dell'integrale in $ t= 0 $ la dimostrazione che sia una distribuzione discende facilmente.
2) si vuole dimostrare che non esiste alcuna funzione $ f in L'_(loc)( mathbb(R) ) $ che generi la distribuzione delta di dirac:
si consideri la successione di funzioni-test $ phi_k(t)= {(e^(((kt)^2)/((kt)^2-1));|t|<1/k),(0;|t|>=1/k):} $
si ha $ max_(t in [-1,1])|phi_k(t)|=phi_k(0)=1 ;AAk $
ne calcolo la distribuzione di dirac: $ = phi_k(0) = 1; AAk in mathbb(N) $
Per Assurdo ipotizzo che la $ delta(t) $ sia una funzione localmente sommabile: noto che $ phi_k(t)->_(t!=0)0 $ (quindi q.o.). essendo $ |phi_k(t)|<=1 $ e la $ delta(t) $ sommabile per assunzione allora vale la maggiorazione $ |phi_k(t)delta(t)|<=|delta(t)| $ pertanto siamo nelle ipotesi della convergenza dominata:
$ lim_k int_-oo^(+oo)delta(t)phi_k(t)dt=int_-oo^(+oo) lim_k delta(t)phi_k(t)dt = 0 $
sono giunto all'assurdo in quanto prima avevo mostrato come la delta della successione fosse unitaria.
ciò che non mi è chiaro riguarda la convergenza della successione $ phi_k(t) -> 0$: e il libro e gli appunti affermano che la convergenza è in $ t!=0 $ vale a dire che questa convergenza è puntuale non uniforme (possiamo dire anche quasiovunque), ma per la convergenza di funzioni test viene richiesto che la convergenza sia uniforme per ogni derivata della successione alla corrispondente derivata della funzione limite. ho pensato alle seguenti due opzioni:
1. essendo $ phi_k(t) = 0 AA |t|>=1/k $, per $ k->+oo $ si ha $ phi(t) = 0 AA|t|>=0 $ vale a dire nulla qualsiasi t reale quindi uniformemente ( ma credo sia erratissimo in quanto $ max|phi_k(t)-0|=1 $ che non tende a 0 quindi non si può parlare di uniforme convergenza)
2. essendo per assurdo la delta una funzione sommabile, il funzionale ha senso come integrale di funzioni sommabili quindi non è richiesta la convergenza nel senso delle funzioni test bensì è sufficiente la convergenza q.o. per poter sfruttare di seguito anche il teorema di convergenza dominata.
se sono entrambe sbagliate come considerazioni, per piacere toglietemi questo dubbio
1) vorrei chiarire la questione riguardo la distribuzione $
$ int_(|t|<=r)(phi(t)-phi(0))/(t)dt $ quindi differisce dal funzionale generato da una qualsiasi funzione $ f in L'_(loc)( mathbb(R) ) $ per la presenza di $ phi(t)-phi(0) $ anzicchè solo di $ phi(t) $ per le funzioni localmente sommabili, e per l'intevallo di integrazione che non è tutto l'asse reale ma l'interavallo $ [-r,r] $ con $ r>0: s u pp.phi sube [-r,r] $.
dimostrata poi la finitezza dell'integrale in $ t= 0 $ la dimostrazione che sia una distribuzione discende facilmente.
2) si vuole dimostrare che non esiste alcuna funzione $ f in L'_(loc)( mathbb(R) ) $ che generi la distribuzione delta di dirac:
si consideri la successione di funzioni-test $ phi_k(t)= {(e^(((kt)^2)/((kt)^2-1));|t|<1/k),(0;|t|>=1/k):} $
si ha $ max_(t in [-1,1])|phi_k(t)|=phi_k(0)=1 ;AAk $
ne calcolo la distribuzione di dirac: $
Per Assurdo ipotizzo che la $ delta(t) $ sia una funzione localmente sommabile: noto che $ phi_k(t)->_(t!=0)0 $ (quindi q.o.). essendo $ |phi_k(t)|<=1 $ e la $ delta(t) $ sommabile per assunzione allora vale la maggiorazione $ |phi_k(t)delta(t)|<=|delta(t)| $ pertanto siamo nelle ipotesi della convergenza dominata:
$ lim_k int_-oo^(+oo)delta(t)phi_k(t)dt=int_-oo^(+oo) lim_k delta(t)phi_k(t)dt = 0 $
sono giunto all'assurdo in quanto prima avevo mostrato come la delta della successione fosse unitaria.
ciò che non mi è chiaro riguarda la convergenza della successione $ phi_k(t) -> 0$: e il libro e gli appunti affermano che la convergenza è in $ t!=0 $ vale a dire che questa convergenza è puntuale non uniforme (possiamo dire anche quasiovunque), ma per la convergenza di funzioni test viene richiesto che la convergenza sia uniforme per ogni derivata della successione alla corrispondente derivata della funzione limite. ho pensato alle seguenti due opzioni:
1. essendo $ phi_k(t) = 0 AA |t|>=1/k $, per $ k->+oo $ si ha $ phi(t) = 0 AA|t|>=0 $ vale a dire nulla qualsiasi t reale quindi uniformemente ( ma credo sia erratissimo in quanto $ max|phi_k(t)-0|=1 $ che non tende a 0 quindi non si può parlare di uniforme convergenza)
2. essendo per assurdo la delta una funzione sommabile, il funzionale ha senso come integrale di funzioni sommabili quindi non è richiesta la convergenza nel senso delle funzioni test bensì è sufficiente la convergenza q.o. per poter sfruttare di seguito anche il teorema di convergenza dominata.
se sono entrambe sbagliate come considerazioni, per piacere toglietemi questo dubbio
Risposte
Mi pare tu abbia scritto molte cose inutili ai fini della domanda e questo ne pregiudica la chiarezza. Comunque, nel punto 2) nessuno ha detto che \(\phi_k\to 0\) nel senso delle funzioni test. La tua considerazione 2. è corretta.
Quanto al punto 1), quale sarebbe la domanda?
Quanto al punto 1), quale sarebbe la domanda?
"dissonance":
Mi pare tu abbia scritto molte cose inutili ai fini della domanda e questo ne pregiudica la chiarezza. Comunque, nel punto 2) nessuno ha detto che \(\phi_k\to 0\) nel senso delle funzioni test. La tua considerazione 2. è corretta.
Quanto al punto 1), quale sarebbe la domanda?
grazie per la risposta
mi sono dimenticato la domanda esplicitamente al punto 1) ahaha.
mi chiedevo se $ phi(0) $ che compare al numeratore della distribuzione $ v.p.1/t $ sia parte della definizione di questa distribuzione in quanto non compare magari nella $ delta(t) $ o nelle $ f in L'_(loc) (mathbb(R)) $
Non ho capito la domanda del punto 1). La definizione è quella, è una definizione "speciale", fatta apposta per \(1/t\), e che non discende da proprietà generali delle distribuzioni.
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