Sommabilità di f in L^2(R)

[lukixx]

salve ragazzi, studiando la trasformata di fourier in $ L^2(mathbb(R)) $ in maniera propedeutica alla trasformata di Fourier per le distribuzioni temperate mi sono imbattuto in questa affermazione che ho sempre dato per scontato ma non riesco a capirne il motivo: "Sia $ f in L^2(mathbb(R)) $; poichè non è detto che $ f $ sia sommabile la definizione di trasformata di Fourier richiede una certa attenzione". La domanda è: perchè se $ f in L^2(mathbb(R)) $ non è necessariamente sommabile?

[dissonance]

Considera per esempio la funzione
\[
f(x)=\frac{1}{1+\lvert x\rvert}.\]

[lukixx]

innanzitutto grazie per la risposta, (volendo come esempio avrei potuto prendere $ 1/sqrt(1+x^2) $ di quadrato sommabile ma non sommabile), però la domanda era più teorica, cioè intuitivamente perchè non dovrebbe valere questa implicazione.
per quanto riguarda l'implicazione opposta $ f in L^1 (mathbb(R)) rArr f in L^2 (mathbb(R)) $ (ma in genera $L^p(mathbb(r))$) ce n'è una dimostrazione? o magari anche qui un spiegazione intuitiva

[dissonance]

Le spiegazioni intuitive te le devi costruire da solo, ragionando sugli esempi pratici. Quello che hai scritto è concettualmente "lo stesso" che il mio, ed è corretto.

Una cosa importante: pure l'esempio mio è "di quadrato sommabile ma non sommabile", è esattamente la stessa cosa che dire di una funzione che è in \(L^2(\mathbb R)\) ma non in \(L^1(\mathbb R)\).

Quanto alla funzione in \(L^1(\mathbb R)\) ma non in \(L^2(\mathbb R)\), pensa a
\[
f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\lvert x\rvert}}, & 0<|x|<1, \\ 0, & |x|\ge 1.\end{cases}\]

[lukixx]

ok quindi mi pare di capire che non c'è un'implicazione di appartenenza ad uno spazio

in merito alla funzione che proponi per l'esempio $ L^1(mathbb(R)) $ ma non $ L^2(mathbb(R)) $ se ne può fare l'integrale perchè la funzione è discontinua solo in $ {0, -1,+1} $ quindi un insieme di misura nulla, quindi la funzione è continua q.o. in $mathbb(R)$ e pertanto posso integrare (il risultato è 4 giusto?); invece il quadrato del modulo non è sommabile perchè è $ 1/|x| $ per il primo intervallo, che non è sommabile.

[dissonance]

"lukixx":ok quindi mi pare di capire che non c'è un'implicazione di appartenenza ad uno spazio

Detto meglio, gli spazi \(L^p(\mathbb R)\) non sono in ordine, nel senso che \(L^p(\mathbb R)\nsubseteq L^q(\mathbb R)\), a meno che \(p=q\), naturalmente. Attenzione che, invece, \(L^p([a, b])\subset L^q([a, b])\) se \(p\ge q\)!

Questa è una cosa sottile e bisogna studiare molti esempi per capirla a fondo.

in merito alla funzione che proponi per l'esempio $ L^1(mathbb(R)) $ ma non $ L^2(mathbb(R)) $ se ne può fare l'integrale perchè la funzione è discontinua solo in $ {0, -1,+1} $ quindi un insieme di misura nulla, quindi la funzione è continua q.o. in $mathbb(R)$ e pertanto posso integrare (il risultato è 4 giusto?);

Il risultato non è molto importante, comunque il discorso è giusto. In genere l'integrale si intende secondo Lebesgue, e non occorre fare quel discorso sulla continuità.

invece il quadrato del modulo non è sommabile perchè è $ 1/|x| $ per il primo intervallo, che non è sommabile.

eh si.

[lukixx]

"dissonance":
Detto meglio, gli spazi \(L^p(\mathbb R)\) non sono in ordine, nel senso che \(L^p(\mathbb R)\nsubseteq L^q(\mathbb R)\), a meno che \(p=q\), naturalmente. Attenzione che, invece, \(L^p([a, b])\subset L^q([a, b])\) se \(p\ge q\)!

Questa è una cosa sottile e bisogna studiare molti esempi per capirla a fondo.

Anche se volessi non mi posso permettere di essere troppo pignolo perchè non ne ho il tempo, quindi prendo per vero senza dimostrazione la relazione tra i sottospazi sull'intervallo limitato, anche perchè credo che questa non sia strettamente utile ai fini della trasformata di Fourier in $L^2 mathbb(R) $ e per le distribuzioni tempreate in quanto la trasformata per definizione necessita della sommabilità in tutto R.
infine grazie mille!!

[dissonance]

Sono considerazioni giuste.

[lukixx]

"dissonance":Sono considerazioni giuste.

non mettevo in dubbio quanto hai affermato, solo che mi accontento del fatto che mel'abbia detto, come un assioma.

"dissonance":
Detto meglio, gli spazi \(L^p(\mathbb R)\) non sono in ordine, nel senso che \(L^p(\mathbb R)\nsubseteq L^q(\mathbb R)\) .

alla luce di questo, e avendo dimostrato per conto mio che $ f in S(mathbb(R)) rArr f in L^1(mathbb(R)), f in L^2(mathbb(R)), f in L^(oo)(mathbb(R)), f in P_n $ con l'ultimo spazio di polinomi di grado n, posso dire che $ f $ sta nell'intersezione di questi spazi?

tra l'altro, perdona le troppe domande, ma leggo "$S(mathbb(R)) $ è denso in $L^2(mathbb(R))$: ogni funzione a quadrato sommabile è il limite di una successione di funzioni a decrescenza rapida" il che non mi è chiaro :/

[dissonance]

Si ma non c'entra niente l'inclusione, questo è un fatto di base di insiemi. Se \(x\) appartiene agli insiemi \(A\), \(B\), \(\text{Filippo}\) e \(\text{Minguccio}\), allora
\[
x\in A\cap B\cap \text{Filippo}\cap \text{Minguccio}.\]

[gugo82]

"$f in P_n$"? E come fa a decrescere rapidamente? O ad essere sommabile?

[lukixx]

"gugo82":"$f in P_n$"? E come fa a decrescere rapidamente? O ad essere sommabile?

già, scusami, per $P_n$ mi sono confuso con le f a crescenza lenta.

Approfitto della tua attenzione per chiederti se effettivamenre le implicazioni di cui parlavo nel messaggio precedente eccetto quella per $ P_n $, sussistano davvero perchè non avendone trovato dimostrazioni ho fatto da me e posso aver facilmente sbagliato qualcosa

[gugo82]

Sì, la famiglia di inclusioni:
\[
\forall 1\leq p \leq \infty,\quad \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})
\]
vale e si dimistra in maniera banale: per $p \[
|f(x)| \leq \frac{C}{x^{2/p}}
\]
che assicura la sommabilità di $|f|^p$ intorno a $+- oo$, mentre la continuità di $f$ ti assicura la limitatezza e, quindi, la sommabilità di $|f|^p$ nel compatto rimanente.
D'altro canto, la continuità di $f$ ed il fatto che $|f(x)|<= C/x$ intorno a $+-oo$ implica che $f$ è limitata ovunque, sicché l'appartenenza a $L^oo$ segue facile.

Il fatto che \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) sia denso in $L^p(RR)$ con $1 <= p < oo$ significa che per ogni $u in L^p(RR)$ esiste almeno una successione \(f_n \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\lim_n \| f_n - u\|_p = 0\ \iff\ f_n \to u\ \text{in } L^p\; .
\]
Questo è conseguenza del fatto che \(C_c^\infty (\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})\) e che lo spazio delle funzioni indefinitamente derivabili a supporto compatto è denso in $L^p$.

[lukixx]

grazie mille ragazzi

[lukixx]

"gugo82":Sì, la famiglia di inclusioni:
\[
\forall 1\leq p \leq \infty,\quad \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})
\]
vale e si dimistra in maniera banale: per $p \[
|f(x)| \leq \frac{C}{x^{2/p}}
\]
che assicura la sommabilità di $|f|^p$ intorno a $+- oo$, mentre la continuità di $f$ ti assicura la limitatezza e, quindi, la sommabilità di $|f|^p$ nel compatto rimanente.
D'altro canto, la continuità di $f$ ed il fatto che $|f(x)|<= C/x$ intorno a $+-oo$ implica che $f$ è limitata ovunque, sicché l'appartenenza a $L^oo$ segue facile.

Il fatto che \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) sia denso in $L^p(RR)$ con $1 <= p < oo$ significa che per ogni $u in L^p(RR)$ esiste almeno una successione \(f_n \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\lim_n \| f_n - u\|_p = 0\ \iff\ f_n \to u\ \text{in } L^p\; .
\]
Questo è conseguenza del fatto che \(C_c^\infty (\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})\) e che lo spazio delle funzioni indefinitamente derivabili a supporto compatto è denso in $L^p$.

io ho capito tutto il tuo discorso, ma secondo me crolla tutto a monte perchè x^(2/p) non è un polinomio eccetto che per $p=1, 2$ e per definizione di funzione a decrescenza rapida $ P(x) * f(x) in L^(oo)(mathbb(R)) $ con P(x) polinomio. La dimostrazione fatta da me è valida per $p=1, 2, +oo$, magari se sussiste una generalizzazione dimostrata vorrei vederne la dimostrazione

[dissonance]

Ti stai imbrogliando tra "funzioni a decrescenza rapida" e "funzioni a crescita lenta".

[lukixx]

"dissonance":Ti stai imbrogliando tra "funzioni a decrescenza rapida" e "funzioni a crescita lenta".

a me non pare:

$f$ a decrescenza rapida $ hArr p_n(x)*f^((m))(x)in L^(oo)(mathbb(R)) $ con $ p_n(x) $ polinomio di grado n (INTERO)
o equivalentemente che $ |x^n * f^((m))(x)|<=c_(n,m) $ ma in nell'esempio di gugo82 $n=2/p notin mathbb(N)$

$ f $ a crescenza lenta $ hArr f(x)=p_n(x)*u(x);uinL^1(mathbb(R)) $

[dissonance]

Siamo d'accordo che
\[
|f(x)|\le C_n |x|^{-n},\qquad \forall n\in\mathbb N?\]
Se siamo d'accordo su questo, allora basta prendere una \(n\) più grande di \(\tfrac2p\). Infatti, per \(|x|>1\),
\[
|f(x)|\le C_n |x|^{-n}\le C_n |x|^{-\frac2p}.\]
Per \(|x|\le 1\) non hai problemi di sommabilità, perché \(|f(x)|\le \max(|f(y)|\ :\ |y|\le 1)\) (questo esiste finito perché \(f\) è continua).

E quindi \(|f|^p\) è sommabile.