Equazioni differenziali lineari

[ncant04]

Ciao a tutti. Riporto qui il testo e lo svolgimento di un problema di Cauchy in cui mi sono imbattuto.

Sia $y(t)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y' = y + t^2 \\
y(0) = 0
\end{cases}
\text{.}
\]
Determinare $y(1)$.

Soluzione
Riscrivo l'equazione differenziale del problema come:
\[
y' - y = t^2.
\]
Considero una primitiva di $y$, per poi moltiplicare a destra e a sinistra per $e^{-t}$.
\[
\underbrace{y'(t) e^{-t} -y(t)e^{-t}}_{=\frac{d}{dt} [y(t)e^{-t}]} = t^2 e^{-t}
\]
Integrando il tutto, si ottiene:
\begin{align*}
y(t)e^{-t} &= \int t^2 e^{-t} \, dt \\
&= -t^2 e^{-t} - \int -2t e^{-t} \, dt \\
&= -t^2 e^{-t} + 2 \left( -te^{-t} - \int - e^{-t} \, dt \right) \\
&= -t^2 e^{-t} + 2 \left( -te^{-t} - e^{-t} \right) \\
&= -t^2 e^{-t} -2te^{-t} - 2e^{-t} + C
\end{align*}
da cui si ricava:
\[
y(t) = -t^2 - 2t - 2 + Ce^t
\]
Ponendo la condizione iniziale $y(0) = 0$, si ha che
\[
y(0) = 0 \implies Ce^0 - 2 = 0 \implies C = 2
\]
dunque la soluzione di questo problema di Cauchy è
\[
y(t) = -(t^2 + 2t + 2 - 2e^t)
\]
Infine:
\[
y(1) = -(1 + 2 + 2 - 2e) = 2e - 5 \text{.}
\]

Può andare bene secondo voi?

[pilloeffe]

Ciao ncant,

Mi pare corretto.