Come indicare in LaTeX la radice principale ($c$-esima) di un numero naturale?
Ciao a tutti, ho una domanda molto niubba a cui mi sarebbe utile che qualche anima pia provasse a rispondere (al netto delle meritate pernacchie che sicuramente merito per averla posta).
Scrivendo in LaTeX, mi serve affermare in un teorema che, per qualsiasi dato numero intero strettamente positivo $c$, esistono infiniti numeri naturali $a$ che sono congrui a $5 \mod 20$ e la cui radice principale $c$-esima è un intero positivo.
In pratica, ponendo $n \in \mathbb{Z}^+$, vorrei scrivere solo con i simboli che dato ciascun intero positivo $c$ esistono infinite potenze perfette di grado ($n \cdot c$)-esimo che terminano per $05$ o $25$ o $45$ o $65$ o $85$. Preferisco scrivere tutto in termini di radici, anziché di potenze, per non dover specificare che questi numeri $a$ sono almeno delle potenze perfette di grado $c$-esimo e oltretutto eliminare pure l'ambiguità lessicale dell'includere semanticamente nel novero delle potenze perfette i normali numeri naturali che si ottengono fissando $c = 1$.
A me servirebbe indicare in modo univoco con il simbolo di radice ($c$-esima) il fatto che considero l'unica radice principale, mentre ignoreremo le eventuali soluzioni complesse generate dai casi $c \geq 1$.
Nel caso non mi fossi spiegato bene, probabilissimo, non esitate a tempestarmi di domande (e se serve, incollerò direttamente lo statement del teorema che qui ho cercato di semplificare per non introdurre ulteriori complicazioni inutili).
Scrivendo in LaTeX, mi serve affermare in un teorema che, per qualsiasi dato numero intero strettamente positivo $c$, esistono infiniti numeri naturali $a$ che sono congrui a $5 \mod 20$ e la cui radice principale $c$-esima è un intero positivo.
In pratica, ponendo $n \in \mathbb{Z}^+$, vorrei scrivere solo con i simboli che dato ciascun intero positivo $c$ esistono infinite potenze perfette di grado ($n \cdot c$)-esimo che terminano per $05$ o $25$ o $45$ o $65$ o $85$. Preferisco scrivere tutto in termini di radici, anziché di potenze, per non dover specificare che questi numeri $a$ sono almeno delle potenze perfette di grado $c$-esimo e oltretutto eliminare pure l'ambiguità lessicale dell'includere semanticamente nel novero delle potenze perfette i normali numeri naturali che si ottengono fissando $c = 1$.
A me servirebbe indicare in modo univoco con il simbolo di radice ($c$-esima) il fatto che considero l'unica radice principale, mentre ignoreremo le eventuali soluzioni complesse generate dai casi $c \geq 1$.
Nel caso non mi fossi spiegato bene, probabilissimo, non esitate a tempestarmi di domande (e se serve, incollerò direttamente lo statement del teorema che qui ho cercato di semplificare per non introdurre ulteriori complicazioni inutili).
Risposte
La forma attuale del teorema (scusate l'inglese), è questa:
Il dubbio che non bastasse l'usuale simbolo LaTeX di radice (che ho sempre inteso in modo univoco indicare la radice principale) per azzerare sul nascere qualsiasi ambiguità mi è sorto per via del commento di rigetto di un revisore (esperto in materia a detta dell'editor) che si chiedeva perché non avessi scritto il teorema in termini di potenze perfette $c$-esime e voleva quindi che in questo caso mostrassi in anticipo l'assunzione che $a$ fosse una potenza perfetta $c$-esima (cosa in generale non dimostrata nella "proof" sottostante, giacché $a$ può pure essere una potenza ($2 \cdot c$)-esima o, che so, ($314159 \cdot c$)-esima)
Il dubbio che non bastasse l'usuale simbolo LaTeX di radice (che ho sempre inteso in modo univoco indicare la radice principale) per azzerare sul nascere qualsiasi ambiguità mi è sorto per via del commento di rigetto di un revisore (esperto in materia a detta dell'editor) che si chiedeva perché non avessi scritto il teorema in termini di potenze perfette $c$-esime e voleva quindi che in questo caso mostrassi in anticipo l'assunzione che $a$ fosse una potenza perfetta $c$-esima (cosa in generale non dimostrata nella "proof" sottostante, giacché $a$ può pure essere una potenza ($2 \cdot c$)-esima o, che so, ($314159 \cdot c$)-esima)
Ma infatti se vuoi esprimere il fatto che un intero $n$ è una potenza $c$-esima è molto meglio se scrivi "esiste un intero $m$ tale che $m^c=n$". Non capisco proprio cosa c'entri Latex in tutto questo.
Puoi modificare leggermente il simbolo di radice che usi, in maniera analoga a quanto fatto qui https://tex.stackexchange.com/questions ... oot-symbol dove viene ridefinito [inline]\r@@t[/inline].
"Martino":
Ma infatti se vuoi esprimere il fatto che un intero $n$ è una potenza $c$-esima è molto meglio se scrivi "esiste un intero $m$ tale che $m^c=n$". Non capisco proprio cosa c'entri Latex in tutto questo.
Come discorso generale sarei d'accordo anch'io, ma nel caso specifico (poi c'è pure un altro teorema simile ma il discorso è simile) non lavoro su date potenze $c$-esime in sé, ma su basi di tetrazione di una certa forma, che sono congrue a $5$ modulo $20$ e che godono in più di speciali proprietà.
Per capirci sul concetto, nel sistema di numerazione decimale, supponiamo che ci assegnino un certo numero che termini con la coppia di cifre $05$ o $25$ o $45$ o $65$ o $85$. Noi non sappiamo se questo numero sia già una potenza $k$-esima con $k$ intero maggiore o uguale a $2$, ma lo possiamo comunque elevare alla $c$ e chiamare il risultato $a$. Dunque $a$ resterà congruo a $5 \mod 20$ come il numero di partenza (cioè la sua radice pricipale $c$-esima), ma questo non significa che $a$ sia proprio una potenza perfetta di grado $c$ (di sicuro è "almeno" una potenza $c$-esima, questo sì).
Giacché non mi va di rimettere mano alle dimostrazioni a distanza di tanti mesi o di introdurre ulteriori variabili nell'asserto del teorema (è tutto abbastanza tecnico e complesso), se ciò che dico è corretto come ritengo, non mi interessa poi troppo cercare di andare a tutti i costi incontro al lettore (o al revisore) per facilitargli la comprensione di una relazione incrociata che comunque necessita di attenzione per essere capita a fondo.
La mia priorità è essere certo di dimostrare in modo rigorosissimo esattamente ciò che dichiaro nello specifico teorema... e sulla base della dimostrazione prodotta, per fare ciò che chiedeva il revisore, mi servirebbe invocare gli altri teoremi che arrivano nella sezione successiva, cosa non fattibile.
"megas_archon":
Puoi modificare leggermente il simbolo di radice che usi, in maniera analoga a quanto fatto qui https://tex.stackexchange.com/questions ... oot-symbol dove viene ridefinito [inline]\r@@t[/inline].
Grazie mille, è proprio ciò che speravo di trovare. Direi che così, anche senza starlo a specificare, sia chiaro a tutti che ciò che compare sotto il simbolo chiuso di radice ($c$-esima) sia proprio un singolo numero reale (naturale nel mio caso specifico). La critica che sia un po' contorta la forma per il fatto di parlare di radici ($c$)-esime intere di $a$, anziché di potenze perfette $c$-esime del risultato menzionato poc'anzi, ci può senz'altro stare, ma un risultato corretto resta corretto anche quando il lettore lo preferirebbe scritto in un modo a lui più congeniale.
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