Definizione limite successioni
Ciao,
cercando online ho trovato una definizione diversa da quella data a lezione e volevo chiedervi come mostrare l'equivalenza.
1) Scriviamo $x=lim_(n->oo)x_n$ se: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||
2) trovo scritto: $x=lim_(n->oo)x_n<=> lim_(n->oo)||a-a_n||=0$
Ma questa seconda vorrebbe dire: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|
La differenza con il primo caso è che la 1) è un limite di successioni in un certo spazio normato, mentre in 2) diviene un limite di successione nel classico $RR$, infatti $||a_n-a|| in RR$, qundi uso $ |0-(||a_n-a||)|$ il valore assoluto, sbaglio?
Questo detto, dovrei quindi mostrare che sono la stessa cosa le due formulazioni, da qui viene facile perché:
1=>2)
per HP: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||
$forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|
2=>1)
stavolta parto da $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|
$forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||
Mi aiutereste in questi due punti?
Se è correttoquello che dico sulla successione nei reali (grassetto) e sulla dimostrazione...
grazie!
cercando online ho trovato una definizione diversa da quella data a lezione e volevo chiedervi come mostrare l'equivalenza.
1) Scriviamo $x=lim_(n->oo)x_n$ se: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||
2) trovo scritto: $x=lim_(n->oo)x_n<=> lim_(n->oo)||a-a_n||=0$
Ma questa seconda vorrebbe dire: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|
La differenza con il primo caso è che la 1) è un limite di successioni in un certo spazio normato, mentre in 2) diviene un limite di successione nel classico $RR$, infatti $||a_n-a|| in RR$, qundi uso $ |0-(||a_n-a||)|$ il valore assoluto, sbaglio?
Questo detto, dovrei quindi mostrare che sono la stessa cosa le due formulazioni, da qui viene facile perché:
1=>2)
per HP: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||
$forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|
2=>1)
stavolta parto da $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|
$forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||
Mi aiutereste in questi due punti?
Se è correttoquello che dico sulla successione nei reali (grassetto) e sulla dimostrazione...
grazie!
Risposte
guarda, ti consiglio di riscrivere tutto bene, specialmente dire cosa non ti torna.
ad esempio, nella formulazione 1, hai una successione $(x_n)$ il cui limite è $x$; tuttavia, poi nella definizione, diventano $a_n$ e $a$.
Inoltre la formulazione 2 è implica la 1, infatti hai che $\lim_n x_n = x $ SE E SOLO SE $\lim_n ||x_n - x|| = 0$, dunque non hai alcuna equivalenza da dimostrare, dato che in 2 hai un se e solo se con 1
ad esempio, nella formulazione 1, hai una successione $(x_n)$ il cui limite è $x$; tuttavia, poi nella definizione, diventano $a_n$ e $a$.
Inoltre la formulazione 2 è implica la 1, infatti hai che $\lim_n x_n = x $ SE E SOLO SE $\lim_n ||x_n - x|| = 0$, dunque non hai alcuna equivalenza da dimostrare, dato che in 2 hai un se e solo se con 1
Erano semplici typo, li ho corretti. Prova a buttarci un occhio se hai voglia. Grazie 
io vorrei dimostrare 1<=>2
e voglio capire se la pare detta in grassetto è corretta.
mi pare di aver fato entrambe le cose ma vorrei esser certo!
io vorrei dimostrare 1<=>2
e voglio capire se la pare detta in grassetto è corretta.
mi pare di aver fato entrambe le cose ma vorrei esser certo!
si torna tutto
Grazie mille sei stato gentilissimo,
diciamo che di fatto la parte importante era questa $|0−(||an−a||)|=|(||an−a||)|=||an−a||$ che dava vita al se e solo se di cui parlavi. Però appunto non ero sicurissimo non avendolo trovato sui libri ed era frutto della mia idea XD.
Buona estate!
diciamo che di fatto la parte importante era questa $|0−(||an−a||)|=|(||an−a||)|=||an−a||$ che dava vita al se e solo se di cui parlavi. Però appunto non ero sicurissimo non avendolo trovato sui libri ed era frutto della mia idea XD.
Buona estate!
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