Min assoluto funzione convessa

[zio_mangrovia]

Perchè una funzione convessa, dove esiste un solo punto stazionario, abbiamo certezza che quel punto sia proprio il minimo assoluto/globale? Quale teorema ce lo garantisce?

[Fioravante Patrone1]

Qualcosa mi dice che gugo82 potrebbe risponderti esaustivamente

Anticipazione: se parli di punto stazionario immagino che sottintendi di avere una funzione derivabile. E allora basta il teorema 3 a pagina 16 (scegliendo come punto $x_0$ il punto stazionario di cui parli) di questi appunti(*):
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/679846

[size=85](*) un Rockafellar in sedicesimo [/size]

[zio_mangrovia]

"Fioravante Patrone":
Anticipazione: se parli di punto stazionario immagino che sottintendi di avere una funzione derivabile.

Certo la funzione è derivabile in $C^n$

Mi convince poco ad essere sincero la tua spiegazione, è come dire vedo il problema al contrario.
Partendo dal dato di fatto che la funzione è convessa e che il punto è stazionario per cui il gradiente (siamo in $R^n$) si annulla.... non è che c'e' qualche teorema sulla matrice Heassiana ??!

[Fioravante Patrone1]

Per il teorema 3, prendiamo $x_0$ interno ad $I$ (l'intervallo su cui $f$ è definita).

Per qualsiasi $x \in I$ si ha:

$f(x) \ge f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)$

Se prendiamo come $x_0$ il "tuo" punto stazionario (come suggerivo nella mia risposta):

$f(x) \ge f(x_0)$

Ovvero per $x_0$ è direttamente soddisfatta la condizione di essere punto di minimo assoluto.

Se fossi stato maligno ti avrei potuto indicare la Proposizione 9, la cui dimostrazione è... lasciata al lettore