[Analisi 1] limiti di funzioni con forma indeterminata 0/0
Ho dei problemi a risolvere il seguente esercizio sui limiti con forma indeterminata 0/0:
\[\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(x) + e^{x^2} -3}{x\sin(x^3)}\]
Se sostituisco alle funzioni trascendenti i loro corrispettivi sviluppi in serie di Taylor, cosa che ho presupposto di poter fare in quanto x tende a zero, il risultato che ottengo è indefinito, perciò ho provato ad agire diversamente sfruttando il limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1$, il limite diventa:
\[\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(x) + e^{x^2} -3}{x^4}\]
da qui, utilizzando il teorema di De L'Hopital:
\[\lim_{x\to 0} \frac{-2\sin(x) + 2xe^{x^2}}{4(x^3)}\]
Se da questo punto in poi sostituisco x a sin(x), il risultato che ottengo è di $1/2$ (sfruttando un altro limite notevole: $\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2}=1$), ma utilizzando vari calcolatori digitali, il risultato che dovrei ottenere dovrebbe essere $7/12$ che viene raggiunto iterando De L'Hopital varie volte. Mi chiedevo quindi in cosa consiste il mio errore e perché lo sviluppo in serie di Taylor non mi è d'aiuto. Allo stesso tempo, iterare De L'Hopital varie volte mi sembra un processo macchinoso e lungo: non ci sarebbe un altro modo per risolvere il problema?
Grazie in anticipo
\[\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(x) + e^{x^2} -3}{x\sin(x^3)}\]
Se sostituisco alle funzioni trascendenti i loro corrispettivi sviluppi in serie di Taylor, cosa che ho presupposto di poter fare in quanto x tende a zero, il risultato che ottengo è indefinito, perciò ho provato ad agire diversamente sfruttando il limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1$, il limite diventa:
\[\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(x) + e^{x^2} -3}{x^4}\]
da qui, utilizzando il teorema di De L'Hopital:
\[\lim_{x\to 0} \frac{-2\sin(x) + 2xe^{x^2}}{4(x^3)}\]
Se da questo punto in poi sostituisco x a sin(x), il risultato che ottengo è di $1/2$ (sfruttando un altro limite notevole: $\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2}=1$), ma utilizzando vari calcolatori digitali, il risultato che dovrei ottenere dovrebbe essere $7/12$ che viene raggiunto iterando De L'Hopital varie volte. Mi chiedevo quindi in cosa consiste il mio errore e perché lo sviluppo in serie di Taylor non mi è d'aiuto. Allo stesso tempo, iterare De L'Hopital varie volte mi sembra un processo macchinoso e lungo: non ci sarebbe un altro modo per risolvere il problema?
Grazie in anticipo
Risposte
Il limite notevole
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1
\] segue immediatamente "da Taylor" e cioè dal fatto che
\[
\sin x = x + \sigma(x)\text{,}
\] dove \( \sigma \) è un \( o \)-piccolo di \( x \).
E quindi niente: sviluppa a ****duro e vedrai che alla viene proprio \( 7/12 \).
Qualche dettaglio. È
\[
2\cos x + e^{x^2} - 3 = 2\Bigl[1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^5)\Bigr] + \Bigl[1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^6)\Bigr] - 3 = \cdots
\]
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1
\] segue immediatamente "da Taylor" e cioè dal fatto che
\[
\sin x = x + \sigma(x)\text{,}
\] dove \( \sigma \) è un \( o \)-piccolo di \( x \).
E quindi niente: sviluppa a ****duro e vedrai che alla viene proprio \( 7/12 \).
Qualche dettaglio. È
\[
2\cos x + e^{x^2} - 3 = 2\Bigl[1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^5)\Bigr] + \Bigl[1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^6)\Bigr] - 3 = \cdots
\]
Ciao MAT14,
Benvenuto/a sul forum!
Sì c'è, usando preliminarmente qualche trucchetto algebrico ed omettendo per comodità gli infinitesimi di ordine superiore a $x^4$ si ha:
$ \lim_{x \to 0} \frac{2 cos(x) + e^{x^2} - 3}{x sin(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 cos(x) - 2 + e^{x^2} - 1}{x sin(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2[1 - cos(x)] + (e^{x^2} - 1)}{x sin(x^3)} = $
$ = \lim_{x \to 0} \frac{-2[x^2/2 - x^4/24] + x^2 + x^4/2}{x^4} = = \lim_{x \to 0} \frac{x^4/12 + x^4/2}{x^4} = 1/12 + 1/2 = 1/12 + 6/12 = 7/12 $
Benvenuto/a sul forum!
"MAT14":
non ci sarebbe un altro modo per risolvere il problema?
Sì c'è, usando preliminarmente qualche trucchetto algebrico ed omettendo per comodità gli infinitesimi di ordine superiore a $x^4$ si ha:
$ \lim_{x \to 0} \frac{2 cos(x) + e^{x^2} - 3}{x sin(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 cos(x) - 2 + e^{x^2} - 1}{x sin(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2[1 - cos(x)] + (e^{x^2} - 1)}{x sin(x^3)} = $
$ = \lim_{x \to 0} \frac{-2[x^2/2 - x^4/24] + x^2 + x^4/2}{x^4} = = \lim_{x \to 0} \frac{x^4/12 + x^4/2}{x^4} = 1/12 + 1/2 = 1/12 + 6/12 = 7/12 $
L'errore che hai commesso è stato quello di fare il limite (citando gobbino) "metà per volta": prima hai usato il limite notevole del seno, poi in un secondo passaggio hai usato hopital e infine hai usato lo sviluppo di taylor sul seno.
Il rischio è appunto di fare un gran casino e arrivare ad un risultato errato, anche perché tu non hai tenuto conto degli o-piccoli quando hai "sostituito" $\sin x$ con $x$: avresti dovuto scrivere $\sin x = x + o(x)$ e poi avresti dovuto sviluppare anche l'esponenziale: utilizzando gli o-piccoli, ti saresti accorto che non andavi a risolvere la forma indeterminata, in quanto ti sarebbe rimasto $(o(x))/(4x^3)$, che non ti fa giungere ad alcun risultato.
Questo qui era un limite telefonato da Taylor: mal che vada sviluppa un po' di più che tanto i termini che non servono al fine del calcolo del limite, vengono mangiati dagli o-piccolo
Il rischio è appunto di fare un gran casino e arrivare ad un risultato errato, anche perché tu non hai tenuto conto degli o-piccoli quando hai "sostituito" $\sin x$ con $x$: avresti dovuto scrivere $\sin x = x + o(x)$ e poi avresti dovuto sviluppare anche l'esponenziale: utilizzando gli o-piccoli, ti saresti accorto che non andavi a risolvere la forma indeterminata, in quanto ti sarebbe rimasto $(o(x))/(4x^3)$, che non ti fa giungere ad alcun risultato.
Questo qui era un limite telefonato da Taylor: mal che vada sviluppa un po' di più che tanto i termini che non servono al fine del calcolo del limite, vengono mangiati dagli o-piccolo
Grazie mille a tutti per le risposte, ero veramente confuso sul metodo con il quale affrontare questo tipo di limiti, ora ho capito grazie a voi, di non poter "mischiare" più metodologie insieme nella risoluzione dell'esercizio.
Grazie mille ancora
Grazie mille ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo