Risolvi il limite senza utilizzare il teorema di De L'Hopital

[sofia_1487]

$lim_(x->-2) $ln($x^2$+x-1) / $x^2$-4

[gugo82]

Click.

[pilloeffe]

Ciao sofixx04,

Benvenuto/a sul forum!

Si ha:

$\lim_{x \to - 2} ln(x^2+x-1)/(x^2-4) = \lim_{x \to - 2} ln(x^2+x-1)/((x-2)(x + 2)) = 3/4$

Suggerimento: porre $t := x + 2 \implies x = t - 2 \implies x^2 = (t - 2)^2 = t^2 - 4t + 4$ sicché si ha...

[Lebesgue]

Ciao @sofixx04, anzitutto ti spiego molto brevemente come scrivere le formule:
tutta la parte matematica va messa tra due simboli del dollaro, ad esempio:

$ \lim_(x \to -2) \ln(x^2 + x - 1) / (x^2 - 4) $

Se tu scrivi, come hai fatto:

$\lim_(x \to -2) $ ln(x^2+x-1)

si ottiene

$\lim_(x \to -2) $ ln(x^2+x-1)

l'unica cosa che appare in ambiente matematico è la parte del limite, ma non il logaritmo.

(il codice \to serve ad indicare la freccia ->)

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Osserviamo ora che, andando a mettere $x = -2$ nel limite, si ottiene la forma indeterminata $0/0$, dunque sarebbe ideale applicare de l'Hopital, ma l'esercizio chiede di risolvere il limite in un altro modo.
A questo punto uno potrebbe ricondursi ad utilizzare il limite notevole $\lim_(x \to 0) \ln(1+x)/x = 1$

Anzitutto spostiamo il limite per $x \to 0$: per farlo utilizziamo il cambio di variabile (come suggerito da pilloeffe) $t = x + 2$, in questo modo, quando $x \to -2$, si ha che $t \to 0$.
Otteniamo in particolare che $x = t-2$ quindi andiamo a sostituire nel limite:

$\lim_(t \to 0) ln( (t-2)^2 + (t-2) - 1)/( (t-2)^2 - 4) $

svolgendo i conti otteniamo

$\lim_(t \to 0) ln(t^2 -3t +1)/(t^2-4t) = ln(1 + (t^2 - 3t))/(t^2-4t) $

Per $t \to 0$, notiamo che $t^2 - 3t \to 0$, dunque possiamo utilizzare il limite notevole del logaritmo $\lim_(x \to 0) \ln(1+x)/x = 1$, a patto che al denominatore appaia $t^2 - 3t$.
Per fare ciò, moltiplico e divido per $t^2 - 3t$:

$\lim_(t \to 0) ln(1 + (t^2 - 3t))/(t^2-4t) \cdot (t^2 - 3t)/(t^2 - 3t) = \lim_(t \to 0) ln(1 + (t^2 - 3t))/(t^2-3t) \cdot (t^2 - 3t)/(t^2 - 4t)$

abbiamo ora che, per il limite notevole: $\lim_(t \to 0) ln(1 + t^2 - 3t)/(t^2-3t) = 1$, ed inoltre
$\lim_(t \to 0) (t^2-3t)/(t^2-4t) = (t(t-3))/(t(t-4)) = \lim_(t \to 0) (t-3)/(t-4) = 3/4$

Dunque il nostro limite sarà $1 \cdot 3/4 = 3/4$