Sviluppi di Taylor e formalismo matematico
Salve a tutti, avrei bisogno di una dritta sullo svolgimento di esercizi sugli sviluppi di Taylor e sulla "cura della scrittura".
Vi porto alcuni esempi così da poter semplificare la domanda e approfittarne per consigli sulle risoluzioni
1) Calcolare il polinomio di $f(x)=(1+3sin(2x))^(1/3)$ con centro $x_0=0$ e ordine $n=3$.
Per la risoluzione ho utilizzato semplicemente la formula di sviluppo per $siny$ con centro 0 e attuando le dovute sostituzioni per $y=2x$ (se $x->0$ allora $y->0$) fermandomi al terzo ordine. Dopodiché ho moltiplicato lo sviluppo tutto per $3$ ottenendo $3(1-y^3/6+o(y^3))=3-4x^3+o(x^3)$.
La prima domanda è quando scrivo uno sviluppo, è bene sempre aggiungere il resto (in questo caso Peano) ? Lo chiedo perché i risultati sono privi di resto. Quindi scrivere, nel caso isolato del seno, $sin(2x)=1-4/3x^3+o(x^3)$ da cui $P_(3,0,f)(x)=1-4/3x^3$ omettendo il resto nella scrittura del polinomio?
Ho continuato l'esercizio ma il risultato non è corretto, vi scrivo il procedimento.
Posto $z=3sin(2x)$ e usando lo sviluppo $(1+z)^(1/3)=sum_(k = \0)^n ( (1/3), (k) )*z^k+o(z^n)$ ottengo $(1+z)^(1/3)= 1+1/3z +o(z)$ (alla luce della sostituzione che avrei dovuto effettuare ho pensato di fermarmi al primo ordine) da cui $(1+3sin(2x))^(1/3)=1+1/3(3-4x^3+o(x^3))+o(3-4x^3+o(x^3))=2-4/3x^3+o(x^3)$ da cui $P_(3,0,f)(x)=2-4/3x^3$.
Il risultato è sbagliato però non capisco dove sia l'errore
2) Calcolare il polinomio di $f(x)=tan(x)$ con centro $x_0=0$ e $n=5$. Qui vi chiedo, dato che non c'è uno sviluppo notevole della tangente è possibile che devo calcolarmi il tutto fino alla derivata quinta di $tanx$?
3) L'ultima domanda è inerente agli sviluppi con centri diversi da 0. Fino ad ora avevo semplicemente usato la formula generale per questi sviluppi però stavo leggendo le esercitazioni del mio professore e ho notato una cosa che mi ha lasciato un po' perplesso.
Si chiede di calcolare il polinomio di Taylor di ordine 3 in $x_0=0$ e $x_0=1$ di $f(x)=sin(x-x^3)$
-Per $x_0=0$
$sin(x-x^3)=siny$ dove $y=x-x^3$
$siny=y-y^3/6+o(y^3)= x-x^3-((x-x^3)^3)/6+o((x-x^3)^3)$ Qui scrive che $o((x-x^3)^3)=o(x^3)$ semplicemente perché il termine di grado massimo che ci interessa e $(x)^3$ ignorando $-x^9$ giusto?
$=x-x^3-(x(1+o(1)))^3/6+o(x^3)$ non ho capito come ha ricavato $(x(1+o(1)))^3$.
Dopodiché continua con i conti fino alla fine.
-Per $x_0=1$
Utilizza nuovamente lo sviluppo con centro $0$ ponendo $y=x-x^3$ che tende a $0$ per $x->1$
Quello che non capisco sono i calcoli che seguono e il perché. Dopo aver scritto $sin(x-x^3)=x-x^3-((x-x^3)^3)/6+o((x-x^3)^3)$ Scrive:
$x-x^3=x(1-x^2)=x(1+x)(1-x)=-x(1+x)(x-1)=(-2+o(1))(x-1)$Non ho capito i passaggi che ha fatto per introdurre l'o-piccolo e perché questa volta ha avuto necessità di sviluppare $x-x^3$. Poi conclude con relative sostituzioni e sviluppo.
Perché funziona anche se lo sviluppo utilizzato è quello per centro 0 ?
Perdonate il testo lunghissimo. Spero possiate aiutarmi. Vi ringrazio anticipatamente!
Vi porto alcuni esempi così da poter semplificare la domanda e approfittarne per consigli sulle risoluzioni
1) Calcolare il polinomio di $f(x)=(1+3sin(2x))^(1/3)$ con centro $x_0=0$ e ordine $n=3$.
Per la risoluzione ho utilizzato semplicemente la formula di sviluppo per $siny$ con centro 0 e attuando le dovute sostituzioni per $y=2x$ (se $x->0$ allora $y->0$) fermandomi al terzo ordine. Dopodiché ho moltiplicato lo sviluppo tutto per $3$ ottenendo $3(1-y^3/6+o(y^3))=3-4x^3+o(x^3)$.
La prima domanda è quando scrivo uno sviluppo, è bene sempre aggiungere il resto (in questo caso Peano) ? Lo chiedo perché i risultati sono privi di resto. Quindi scrivere, nel caso isolato del seno, $sin(2x)=1-4/3x^3+o(x^3)$ da cui $P_(3,0,f)(x)=1-4/3x^3$ omettendo il resto nella scrittura del polinomio?
Ho continuato l'esercizio ma il risultato non è corretto, vi scrivo il procedimento.
Posto $z=3sin(2x)$ e usando lo sviluppo $(1+z)^(1/3)=sum_(k = \0)^n ( (1/3), (k) )*z^k+o(z^n)$ ottengo $(1+z)^(1/3)= 1+1/3z +o(z)$ (alla luce della sostituzione che avrei dovuto effettuare ho pensato di fermarmi al primo ordine) da cui $(1+3sin(2x))^(1/3)=1+1/3(3-4x^3+o(x^3))+o(3-4x^3+o(x^3))=2-4/3x^3+o(x^3)$ da cui $P_(3,0,f)(x)=2-4/3x^3$.
Il risultato è sbagliato però non capisco dove sia l'errore
2) Calcolare il polinomio di $f(x)=tan(x)$ con centro $x_0=0$ e $n=5$. Qui vi chiedo, dato che non c'è uno sviluppo notevole della tangente è possibile che devo calcolarmi il tutto fino alla derivata quinta di $tanx$?
3) L'ultima domanda è inerente agli sviluppi con centri diversi da 0. Fino ad ora avevo semplicemente usato la formula generale per questi sviluppi però stavo leggendo le esercitazioni del mio professore e ho notato una cosa che mi ha lasciato un po' perplesso.
Si chiede di calcolare il polinomio di Taylor di ordine 3 in $x_0=0$ e $x_0=1$ di $f(x)=sin(x-x^3)$
-Per $x_0=0$
$sin(x-x^3)=siny$ dove $y=x-x^3$
$siny=y-y^3/6+o(y^3)= x-x^3-((x-x^3)^3)/6+o((x-x^3)^3)$ Qui scrive che $o((x-x^3)^3)=o(x^3)$ semplicemente perché il termine di grado massimo che ci interessa e $(x)^3$ ignorando $-x^9$ giusto?
$=x-x^3-(x(1+o(1)))^3/6+o(x^3)$ non ho capito come ha ricavato $(x(1+o(1)))^3$.
Dopodiché continua con i conti fino alla fine.
-Per $x_0=1$
Utilizza nuovamente lo sviluppo con centro $0$ ponendo $y=x-x^3$ che tende a $0$ per $x->1$
Quello che non capisco sono i calcoli che seguono e il perché. Dopo aver scritto $sin(x-x^3)=x-x^3-((x-x^3)^3)/6+o((x-x^3)^3)$ Scrive:
$x-x^3=x(1-x^2)=x(1+x)(1-x)=-x(1+x)(x-1)=(-2+o(1))(x-1)$Non ho capito i passaggi che ha fatto per introdurre l'o-piccolo e perché questa volta ha avuto necessità di sviluppare $x-x^3$. Poi conclude con relative sostituzioni e sviluppo.
Perché funziona anche se lo sviluppo utilizzato è quello per centro 0 ?
Perdonate il testo lunghissimo. Spero possiate aiutarmi. Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
"paolo1712":
Dopodiché ho moltiplicato lo sviluppo tutto per $3$ ottenendo $3(1-y^3/6+o(y^3))=3-4x^3+o(x^3)$.
Ok ma cosa hai moltiplicato per $3$? Già qui ti si dovrebbe accendere un campanello d'allarme perchè il termine di ordine $0$ è $3$, ma la funzione in $0$ non vale $3$.
La prima domanda è quando scrivo uno sviluppo, è bene sempre aggiungere il resto (in questo caso Peano)?
Una cosa è lo sviluppo, una cosa il polinomio, lo sviluppo comprende sia polinomio che resto, ma finchè stai facendo i conti il resto tiello, lo togli solo alla fine.
Il risultato è sbagliato però non capisco dove sia l'errore
Eh era già precedente.
2) Calcolare il polinomio di $f(x)=tan(x)$ con centro $x_0=0$ e $n=5$. Qui vi chiedo, dato che non c'è uno sviluppo notevole della tangente è possibile che devo calcolarmi il tutto fino alla derivata quinta di $tanx$?
Si
$sin(x-x^3)=siny$ dove $y=x-x^3$
$siny=y-y^3/6+o(y^3)= x-x^3-((x-x^3)^3)/6+o((x-x^3)^3)$ Qui scrive che $o((x-x^3)^3)=o(x^3)$ semplicemente perché il termine di grado massimo che ci interessa e $(x)^3$ ignorando $-x^9$ giusto?
Grado minimo.
$=x-x^3-(x(1+o(1)))^3/6+o(x^3)$ non ho capito come ha ricavato $(x(1+o(1)))^3$.
Dopodiché continua con i conti fino alla fine.
Semplicemente perchè $x^2=o(1)$ per $x->0$. Non devi fare per forza così, comunque questo tipo di cose fa parte di quelle che impari a fare in scioltezza dopo aver fatto pratica.
-Per $x_0=1$
Utilizza nuovamente lo sviluppo con centro $0$ ponendo $y=x-x^3$ che tende a $0$ per $x->1$
Quello che non capisco sono i calcoli che seguono e il perché. Dopo aver scritto $sin(x-x^3)=x-x^3-((x-x^3)^3)/6+o((x-x^3)^3)$ Scrive:
$x-x^3=x(1-x^2)=x(1+x)(1-x)=-x(1+x)(x-1)=(-2+o(1))(x-1)$Non ho capito i passaggi che ha fatto per introdurre l'o-piccolo e perché questa volta ha avuto necessità di sviluppare $x-x^3$. Poi conclude con relative sostituzioni e sviluppo.
Perché funziona anche se lo sviluppo utilizzato è quello per centro 0?
Dato che $x-x^3$ fa $0$ in $1$ (ed è continua) puoi usare lo sviluppo del seno in $0$, ma gli altri calcoli li devi fare tenendo conto che stai sviluppando in $1$. Se non ti ci trovi comunque puoi anche fare come dice la teoria.
Ti ringrazio per la risposta otta96
Ah ho sbagliato lo sviluppo. Effettivamente dovevo rendermi conto che per $x=0$ il seno non può essere 1
. Quindi lo sviluppo corretto sarebbe nel generico caso $sinx=x-x^3/6+o(x^3)$. Ho confuso il termine $x^(2k+1)$ con $x^(2k)$ del coseno.
Però ancora non mi trovo con i conti. Trovo $siny=y-y^3/6+o(y^3)$ quindi $sin2x=2x-4/3x^3+o(x^3)$ e $3sin2x=6x-4x^3+o(x^3)$
Lo sviluppo della potenza era $(1+z)^(1/3)=1+1/3z+o(z)$ da cui $1+1/3*(6x-4x^3+o(x^3))+o(x^3)=1+2x-4/3x^3+o(x^3)$ Il risultato pero è $1+2x-4x^2+12x^3$
Il termine di secondo grado vien fuori se aggiungo un termine allo sviluppo della potenza($-2/18(6x-4x^3)^2$). Quello di grado 3 niente da fare, ci sarà qualche errore di calcolo che non vedo.
A questo punto mi chiedo, quando sviluppo devo sempre fare in modo di avere tutti i gradi fino all'ordine richiesto (quelli intermedi)?
Il criterio con cui decido di pensare $x^2$ come un o-piccolo di 1 è del tutto arbitrario? Cioè per lo stesso principio potrei vedere tutti i termini di quello sviluppo come degli o-piccolo di 1 o di $x$ ? Non so cosa accada nello specifico, però in linea di massima potrei?
"otta96":
Ok ma cosa hai moltiplicato per $3$? Già qui ti si dovrebbe accendere un campanello d'allarme perchè il termine di ordine $0$ è $3$, ma la funzione in $0$ non vale $3$.
Ah ho sbagliato lo sviluppo. Effettivamente dovevo rendermi conto che per $x=0$ il seno non può essere 1
. Quindi lo sviluppo corretto sarebbe nel generico caso $sinx=x-x^3/6+o(x^3)$. Ho confuso il termine $x^(2k+1)$ con $x^(2k)$ del coseno. Però ancora non mi trovo con i conti. Trovo $siny=y-y^3/6+o(y^3)$ quindi $sin2x=2x-4/3x^3+o(x^3)$ e $3sin2x=6x-4x^3+o(x^3)$
Lo sviluppo della potenza era $(1+z)^(1/3)=1+1/3z+o(z)$ da cui $1+1/3*(6x-4x^3+o(x^3))+o(x^3)=1+2x-4/3x^3+o(x^3)$ Il risultato pero è $1+2x-4x^2+12x^3$
Il termine di secondo grado vien fuori se aggiungo un termine allo sviluppo della potenza($-2/18(6x-4x^3)^2$). Quello di grado 3 niente da fare, ci sarà qualche errore di calcolo che non vedo.
A questo punto mi chiedo, quando sviluppo devo sempre fare in modo di avere tutti i gradi fino all'ordine richiesto (quelli intermedi)?
Semplicemente perchè $x^2=o(1)$ per $x->0$. Non devi fare per forza così, comunque questo tipo di cose fa parte di quelle che impari a fare in scioltezza dopo aver fatto pratica.
Il criterio con cui decido di pensare $x^2$ come un o-piccolo di 1 è del tutto arbitrario? Cioè per lo stesso principio potrei vedere tutti i termini di quello sviluppo come degli o-piccolo di 1 o di $x$ ? Non so cosa accada nello specifico, però in linea di massima potrei?
"paolo1712":
A questo punto mi chiedo, quando sviluppo devo sempre fare in modo di avere tutti i gradi fino all'ordine richiesto (quelli intermedi)?
Eh si perchè non sai mai quanto ti serve, se ognuno lo sviluppi all'ordine in cui devi sviluppare l'esercizio vai sul sicuro. Occhio comunque che se sviluppi toppo poco, devi arrivare a risultati troppo poco sviluppati, non sbagliati, nel tuo caso sarebbe diventato $1+1/3*(6x-4x^3+o(x^3))+o(6x-4x^3+o(x^3))$, che sviluppato dà $1+2x+o(x)$, appunto toppo poco sviluppato ma non sbagliato.
Il criterio con cui decido di pensare $x^2$ come un o-piccolo di 1 è del tutto arbitrario? Cioè per lo stesso principio potrei vedere tutti i termini di quello sviluppo come degli o-piccolo di 1 o di $x$ ? Non so cosa accada nello specifico, però in linea di massima potrei?
Il criterio con cui lo pensi è se ti è utile, il criterio con cui puoi capire se puoi farlo è riferti alla definizione, in questo caso se ci pensi vuol dire semplicemente una funzione che tende a $0$. Così come $x^3$ puoi decidere se considerarlo $o(x^2)$, $o(x)$ oppure $o(1)$, sempre per $x->0$.
Tutto chiaro, grazie mille!
Piccola domanda. Sai dirmi qual è lo sviluppo dell'arcoseno? Su internet trovo solo i termini già sviluppati e quella che ho io è un po' strana: $sum_(k = \0) ^n ((2k-1)!!)/((2k)!!(2k+1))*x^(2k+1)+o(x^(2n+1))$ perché per k=0 vien fuori $((-1)!!)/1*x$
Chiaramente non me la ricordo a memoria, non è una di quelle fondamentali da ricordare, però Wikipedia dice $arcsin(x)=\sum_(n=0)^n((2k)!)/(4^k(k!)^2(2k+1))x^(2k+1)+o(x^(2k+1))$ . Mi fiderei più di Wikipedia che di quello che hai te
Ti ringrazio. So che potrei usare la forma generalizzata però essendo i primi esercizi voglio provare un po' tutti gli sviluppi di Maclaurin, sia per curiosità che per prendere la mano
Ciao paolo1712,
Si ha:
$arcsin(x) = \sum_(k=0)^n ((2k)!)/(4^k(k!)^2(2k+1))x^(2k+1)+o(x^(2n+1)) = \sum_(k = 0)^n ((2k-1)!!)/((2k)!!(2k+1)) x^(2k+1)+o(x^(2n+1)) $
per $|x| < 1 $. Infatti dal tuo si può ricavare quello che ti ha scritto otta96 e viceversa, dato che $n! = n!! \cdot (n - 1)!! $ (pertanto $(- 1)!! = 1 $) e si può dimostrare che si ha:
$2^k \cdot k! = (2k)!! $
Considerando per comodità solo il generico termine della sommatoria infatti si ha:
$ ((2k)!)/(4^k(k!)^2(2k+1))x^(2k+1) = ((2k)!! \cdot (2k - 1)!!)/([2^k \cdot k!]^2 (2k+1))x^(2k+1) = ((2k)!! \cdot (2k - 1)!!)/([(2k)!!]^2 (2k+1)) x^(2k+1) = ((2k - 1)!!)/((2k)!! (2k+1)) x^(2k+1)$
Si ha:
$arcsin(x) = \sum_(k=0)^n ((2k)!)/(4^k(k!)^2(2k+1))x^(2k+1)+o(x^(2n+1)) = \sum_(k = 0)^n ((2k-1)!!)/((2k)!!(2k+1)) x^(2k+1)+o(x^(2n+1)) $
per $|x| < 1 $. Infatti dal tuo si può ricavare quello che ti ha scritto otta96 e viceversa, dato che $n! = n!! \cdot (n - 1)!! $ (pertanto $(- 1)!! = 1 $) e si può dimostrare che si ha:
$2^k \cdot k! = (2k)!! $
Considerando per comodità solo il generico termine della sommatoria infatti si ha:
$ ((2k)!)/(4^k(k!)^2(2k+1))x^(2k+1) = ((2k)!! \cdot (2k - 1)!!)/([2^k \cdot k!]^2 (2k+1))x^(2k+1) = ((2k)!! \cdot (2k - 1)!!)/([(2k)!!]^2 (2k+1)) x^(2k+1) = ((2k - 1)!!)/((2k)!! (2k+1)) x^(2k+1)$
Tutto chiaro tranne il $(-1)!!$ è perché per $n=0$ avrei $(0!) =0!!(0-1)!!$ da cui $1=(-1)!!$?
Esatto, per definizione $0! = 0!! = 1 $
Chiaro! Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo