Periodo di una funzione

[marthy_92]

Buongiorno. Ho una domanda sul calcolo del periodo di una funzione.
A lezione il prof ha considerato una funzione $v(t)$ periodica di periodo $ T $,
(di cui non conosciamo l'espressione analitica) quindi in sostanza si ha che

$ v(t+T)=v(t) $ $ \forall t \in dom_v $

Dopo di che, abbiamo effettuato un cambio di variabili ponendo $ \theta=(2pi)/T*t $
e il prof ha detto che la funzione $v$ in $ \theta $ è diventata periodica di
periodo $ 2 pi $
Ma come si arriva a questa affermazione?

Ho provato a impostare l'uguaglianza di prima con la variabile $ \theta $ ma
non riesco a concludere...

[Mephlip]

"Marthy_92":e il prof ha detto che la funzione $v$ in $θ$ è diventata periodica di
periodo $2π$

Questo è falso. È $v$ come funzione di $\frac{\theta}{2\pi}T$ ad essere periodica di periodo $2\pi$. Riprova ora, dovrebbe tornarti.

Poi, se introduci una nuova funzione $z(\theta):=v\left(\frac{\theta}{2\pi}T\right)$, allora $z$ è periodica di periodo $2\pi$ come funzione di $\theta$. Ma è giusto per alleggerire la notazione.

[marthy_92]

Scusami Mephilip, ma come concludi che $v$ è periodica di periodo $ 2 pi $
nella nuova variabile $ \theta=(2pi)/T*t $ ?

Nell'uguaglianza $ v(t+T)=v(t) $ ho cambiato le variabili scrivendo

$ v((\thetaT)/(2pi)+P)=v((\thetaT)/(2pi)) $

ma poi non capisco come andare avanti

[Mephlip]

Non capisco cosa ti blocca, visto che non sei neanche partito/a. Devi arrivare alla definizione di funzione periodica di periodo $2\pi$, quindi devi innanzitutto addizionare $2\pi$ a $\theta$. Ossia, devi considerare:
$$v\left(\frac{\theta+2\pi}{2\pi}T \right)$$
E dimostrare che, nelle tue ipotesi, è uguale a $v\left(\frac{\theta}{2\pi}T\right)$. Prova a proseguire ora.