Esercizio di Geometria sui trinagoli

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Chiedo aiuto per questa dimostrazione:

Sia CR la bisettrice dell'angolo C del triangolo ABC rettangolo in A. Conduci da R la perpendicolare RK all'ipotenusa CB. RK incontra la retta del lato AC in F. Dimostrare che i triangoli KRA e RBF sono isosceli e che AK e FB sono paralleli
Allego figura
grazie

[anna.supermath]

Ciao, ti spiego la dimostrazione facendo riferimento alla figura che hai allegato.
Ipotesi
ABC è un triangolo rettangolo;

[math]
\bar{CR}
[/math]

risulta essere la bisettrice dell’angolo

[math]
\widehat{ABC}
[/math]

[math]
\bar{KR}
[/math]

risulta perpendicolare a

[math]
\bar{CB}
[/math]

Tesi
I triangoli KRA e RBF sono isosceli

[math]
\bar{AK}
[/math]

è parallelo a

[math]
\bar{FB}

[/math]

Dimostrazione
Tesi 1
Si considerino i triangoli rettangoli CAR e CKR, questi sono congruenti per il II Principio di Congruenza dei Triangoli, in quanto:

[math]
\bar{CR}
[/math]

risulta essere in comune;
gli angoli

[math]
\widehat{ACR}
[/math]

e

[math]
\widehat{KCR}
[/math]

sono congruenti in quanto

[math]
\bar{CR}
[/math]

costituisce la bisettrice dell’angolo

[math]
\widehat{ABC};
[/math]

gli angoli

[math]
\widehat{CAR}
[/math]

e

[math]
\widehat{CKR}
[/math]

sono angoli retti.
Quindi, essendo congruenti tali triangoli, lo sono anche i lati

[math]
\bar{AR}
[/math]

ed

[math]
\bar{RK}
[/math]

, quindi il triangolo KRA è isoscele.
Si considerino adesso i triangoli rettangoli RKB e RAF, questi sono congruenti per il II Principio di Congruenza dei Triangoli, in quanto:

[math]
\bar{AR} = \bar{RK}
[/math]

per la precedente dimostrazione;

[math]
\widehat{FAR} = \widehat{RKB} = 90;
[/math]

[math]
\widehat{ARF} = \widehat{KRB}
[/math]

in quanto opposti al vertice.
Conseguentemente

[math]
\bar{FR} = \bar{RB}
[/math]

per cui il triangolo FRB risulta essere isoscele.

Tesi 2
I triangoli isosceli KRA e FRB sono simili in quanto gli angoli al vertice:

[math]
\widehat{ARK} = \widehat{FRB}
[/math]

sono opposti al vertice, conseguentemente lo sono anche gli angoli alla base.
Adesso considero le rette che contengono i segmenti

[math]
\bar{AK}
[/math]

e

[math]
\bar{FB}
[/math]

tagliate dalla retta che contiene il segmento

[math]
\bar{AB}.
[/math]

Si ha che gli angoli

[math]
\widehat{KAB} = \widehat{FBA}
[/math]

sono uguali in quanto angoli alla base di triangoli isosceli simili (KRA e FRB).
Tali angoli risultano essere alterni interni formati dalle rette che contengono i segmenti

[math]
\bar{AK}
[/math]

e

[math]
\bar{FB}
[/math]

tagliate dalla retta che contiene il segmento

[math]
\bar{AB}
[/math]

, per cui essendo uguali, tali rette risultano parallele.
Quindi risulta verificata la tesi.
Se hai dubbi chiedi pure.

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grazie mille