Integrale triplo

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Salve, ho difficoltà con il seguente integrale:

$int int int_D cos (x+y+z) dxdydz$ dove $D={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=1}$. Mi sembra che passare a coordinate sferiche renda l'integrazione abbastanza complicata, o sbaglio? Qualcuno mi può dare qualche idea?

[pilloeffe]

Ciao _ester_,

"_ester_":Mi sembra che passare a coordinate sferiche renda l'integrazione abbastanza complicata, o sbaglio?

Sì, lo escluderei...
Per calcolare l’integrale proposto, proverei ad effettuare un cambiamento di variabili in modo che la funzione integranda si semplifichi ed in modo tale che la matrice del cambiamento di coordinate non dia problemi nell’integrazione ed inoltre che nel nuovo sistema di riferimento l’insieme su cui si vuole integrare non si complichi. Si può fare in modo che tale matrice abbia determinante unitario per non avere problemi con la matrice del cambiamento di coordinate: particolari trasformazioni con tale determinante sono le rotazioni, trasformazioni che hanno il vantaggio nel caso in esame di trasformare la palla $D$ centrata nell’origine e di raggio $1$ in sè stessa. Ad esempio proverei col cambiamento di coordinate ortonormali seguente:

${(u = (x + y + z)/\sqrt3),(v = (x - z)/\sqrt2),(w = (x - 2y + z)/\sqrt6):} $

[Noodles1]

Propongo una via alternativa spesso usata in fisica. Per considerazioni di simmetria, l'integrale è uguale a quello sottostante:

$\int_{-1}^{1}dtcost*\pi(1-t^2)=2\int_{0}^{1}dtcost*\pi(1-t^2)$

in cui:

$\pi(1-t^2)$

è l'area del cerchio che si ottiene intersecando la sfera con il piano:

$z=t$

e:

$-1 lt= t lt= 1$

sono le limitazioni di t. Infatti, come anticipato da pilloeffe, ruotando l'asse z nella direzione della normale al piano sottostante:

$x+y+z=0$

con lo stesso dominio di integrazione:

$\intdxintdyintdzcos(x+y+z)=\int dbarx int dbary int dbarzcosbarz$

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Intanto grazie ad entrambi. @pilloeffe, posso chiederti come hai scelto in particolare la rotazione? sto cercando di visualizzarla meglio: che angolo hai scelto e perché?

[pilloeffe]

"_ester_":Intanto grazie ad entrambi.

Prego!

Beh, ciò che si vuole è un insieme di vettori ortonormale. Si parte con un insieme ortogonale di vettori e poi si normalizza ogni vettore. Il primo vettore è $(1, 1, 1) $, in quanto si vuole che una variabile sia $u = x + y + z $, per via del fatto che la funzione integranda è $cos(x+y+z) $
Una scelta per un vettore ortogonale è qualcosa del tipo $(1, 0, −1)$, infatti si ha:

$(1, 1, 1) \cdot (1, 0,−1) = 0 $

Per il terzo vettore, dato che ora si ha $(1, 0, −1)$, si vuole il primo e l'ultimo elemento uguali, cioè un vettore del tipo $(1, a, 1)$, in modo che sia

$(1,0,−1) \cdot (1, a, 1) = 0 $

Si sceglie $a$ in modo che vi sia ortogonalità anche rispetto al primo vettore $(1, 1, 1) $, cioè in modo che sia

$0 = (1, 1, 1) \cdot (1, a, 1) = 2 + a \implies a = - 2 $

A questo punto si normalizza ogni vettore, in modo che tutti abbiano norma $1$:

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt3} $

$\frac{(1, 0, −1)}{\sqrt2} $

$\frac{(1, −2, 1)}{\sqrt6} $

Questo conduce al cambiamento di variabili che ho proposto nel mio post precedente.

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Perfetto, grazie ancora.