Integrale di una funzione

[Pylord]

Ciao,

avrei un dubbio riguardo questo https://www.matematicamente.it/forum/fu ... 30486.html
Nella risposta "nicola de rosa" per sostituzione fa un cambio di variabile: $ -t = x $ e successivamente rifà il cambio di variabile scrivendo che $ x = t $, come mai può "tornare indietro" senza considerare che c'è il segno meno?

Questo per dimostrare che $ int_(-a)^(a) f(x) dx = 2 int_(0)^(a) f(x) dx $ se $ f(x) $ è pari. Guardando un grafico è ovvio, ma stavo cercando una dimostrazione.

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao StrilingAlQuadrato,

"StrilingAlQuadrato":[...], ma stavo cercando una dimostrazione

La dimostrazione mi pare contenuta proprio nel thread che hai citato...

"StrilingAlQuadrato":come mai può "tornare indietro" senza considerare che c'è il segno meno?

Il segno meno c'è, ma con l'altro segno meno diventa più. Le variabili negli integrali sono "mute", le puoi chiamare e ri-chiamare come vuoi: il mio professore di Analisi matematica ci faceva scrivere $\int f(\cdot) \text{d}(\cdot) $

[Quinzio]

"StrilingAlQuadrato":Ciao,

avrei un dubbio riguardo questo https://www.matematicamente.it/forum/fu ... 30486.html
Nella risposta "nicola de rosa" per sostituzione fa un cambio di variabile: $ -t = x $ e successivamente rifà il cambio di variabile scrivendo che $ x = t $, come mai può "tornare indietro" senza considerare che c'è il segno meno?

Questo per dimostrare che $ int_(-a)^(a) f(x) dx = 2 int_(0)^(a) f(x) dx $ se $ f(x) $ è pari. Guardando un grafico è ovvio, ma stavo cercando una dimostrazione.

Grazie in anticipo

$ int_(-a)^(a) f(x) dx$

Spezzo l'integrale

$ int_(-a)^(0) f(x) dx + int_(0)^(a) f(x) dx$

Per le funzioni pari vale $f(x) = f(-x)$, quindi il primo integrale lo posso scrivere come

$ int_(-a)^(0) f(-x) dx + int_(0)^(a) f(x) dx$

Sempre nel primo integrale faccio il cambio di variabile $x = -y$, per cui $dx = -dy$ e un estremo, $-a$ diventa $a$.

$ - int_(a)^(0) f(y) dy + int_(0)^(a) f(x) dx$

Poi scambiando gli estremi di un integrale, il segno dell'integrale si inverte.
Cioe' $\int_a^b f(t) dt = -\int_b^a f(t) dt$
Allora nel primo integrale scambio gli estremi e inverto il segno.

$ int_(0)^(a) f(y) dy + int_(0)^(a) f(x) dx$

A parte il nome della variabile $y$ o $x$, che e' solo un segnaposto, e' ininfluente, i due termini sono uguali, quindi

$ int_(0)^(a) f(y) dy + int_(0)^(a) f(x) dx = 2 int_(0)^(a) f(x) dx$

[Pylord]

Grazie mille ad entrambi

Era proprio l'ultima parte,

"Quinzio":

A parte il nome della variabile $ y $ o $ x $, che e' solo un segnaposto, e' ininfluente, i due termini sono uguali, quindi

$ int_(0)^(a) f(y) dy + int_(0)^(a) f(x) dx = 2 int_(0)^(a) f(x) dx $

a crearmi confusione. Grazie ancora del chiarimento.